※ 「S1^3」と表記されているものは、「S1の3乗」を意味します。
解答作成日：2015年3月31日
テーマ：3次対称式・立体の体積、表面積、断面積と辺の関係・ヘロンの公式
履修学年：高校1年
「直方体」と言っている以上、表面は合同な長方形2個×3組で構成されています。
表面は合同な長方形3組で構成されている以上、辺は等しくて平行な4辺×3組で構成されています。
この3種類の長さの辺(本題では、p,q,rと文字に置き換えました。)によって、体積と表面積の値を表現できるのです。
そしてそれをよく見ると、p,q,rの順番を入れ替えても式の意味が同じになる、いわゆる対称式になりますね。
ここでネックになるのは、「三角形AFHの面積は17」という情報ですね。
三平方の定理で3対角線の長さの2乗が求められても、AFHが直角三角形でない以上、それ以上のことは…と、諦めるのはまだ早いですよ！！
非直角三角形の面積を求める為に、「ヘロンの公式」というものが役に立ちます！！
(公式の証明につきましては、本題の解説を優先する為に、公式そのもののみをご紹介させていただきますが、三角比との関わりが深いものですので、追って三角比の定義と合わせてアップロード致します。)
この公式のおかげで、「三角形AFHの面積」をp,q,rで表せますね。
これで、p,q,rの対称式が完成です。
後は、3次の対称式の変形を落ち着いて丁寧にやっていけば、S1^3+S2^3+S3^3の値も求まります。
計算量が非常に多いので、時間がかかっても気にしないでください！！
出題者様のお話によりますと、本題は辺の長さを使わなくてもS1^3+S2^3+S3^3の値を求めることができるようです。
お恥ずかしいことに、AFHの面積とS1,S2,S3の関係がぼんやりしてしまい、現在も模索中です。
見つかりましたら追ってアップロード致します。