解答作成日：2015年3月13日
テーマ：二重数列を伴う漸化式の一般項推定・数学的帰納法・コンビネーション記号の性質
履修学年：なし
（コンビネーション記号は高校1年で、数学的帰納法と漸化式は高校2年で履修しますので、本題は発想次第で高校数学ⅡBの範囲で解答可能です。）
難問、というよりは、コンビネーション記号によほど熟練した方でない限り、そもそも推定の段階までたどり付くのが難しそうです。
シグマ記号について説明しますと、∑の右側に数列の式があり、その式の変数に∑の下にある値（自然数）から上にある値までを一つ一つ代入して、求められた値を全て加えていくというものです。
例えば、∑の右に(2k＋1)、下にk＝1,上に10とあったら、(2×1＋1)＋(2×2＋1)＋(2×3＋1)＋…＋(2×10＋1)と連続的に加えていき、この値は120になります。
この「上にある値」が、本題ではmという文字で特定されていないから、戸惑いそうですね。
1からmまでの自然数の和がm(m+1)/2となることと、1からmまでの平方数（各自然数を2乗した値）の和m(m+1)(2m＋1)/6となることにつきましては、本解説では自明のものとして割愛しましたが、リクエストがありました場合、別記事でご紹介いたします。
漸化式の一般項を求める為に「推定」を使った際は、最後の確認も忘れずに！