解答作成日：①2015年2月14日②2015年2月17日
テーマ：絶対値記号を伴う関数における領域の利用
履修学年：高校2年
絶対値記号につきましては、問題31の解説でご確認ください。
【問題31】x＜0においてf(x)＝x^2、x≧0においてf(x)=xとなるようなf(x)の式を考えよ。ただし、場合分けによる方法は禁止とする。
※ 「x^2」と表記されているものは、「xの2乗」を意味します。
この問題で必要になるのは、座標平面の領域ですが、
一次関数が「等式で表されたxyの関係を座標平面上に直線的に表す」ものならば、
領域は「不等式で表されたxyの関係を座標平面上に平面的に表す」と解釈しましょう。
①対角線が座標軸と平行・直交する場合の正方形
|x|＋|y|＝1
第1象限(座標平面のうち、x≧0かつy≧0の領域)で、y＝-x＋1
第2象限(座標平面のうち、x＜0かつy≧0の領域)で、y＝x＋1
第3象限(座標平面のうち、x＜0かつy＜0の領域)で、y＝-x－1
第4象限(座標平面のうち、x≧0かつy＜0の領域)で、y＝x－1
これで1辺が√2、対角線がx軸とy軸の上に存在する正方形になります。
②辺が座標軸と平行・直交する場合の正方形
|x＋y|＋|x－y|＝1
直線y＝x及び直線y＝－xが対角線になって、この2線との大小関係によって、式をみたす直線の位置及びx軸に平行かy軸に平行かが決まります。
具体的には、
x＋y≧0かつx－y≧0、すなわち、
y＝xとy＝－xの2直線で分割される座標平面のうち、右側の領域において、
x＋y＋x－y＝1より、x＝1/2
x＋y≧0かつx－y＜0、すなわち、
y＝xとy＝－xの2直線で分割される座標平面のうち、上部の平面において、
x＋y＋(－x＋y)＝1より、y＝1/2
x＋y＜0かつx－y＜0、すなわち、
y＝xとy＝－xの2直線で分割される座標平面のうち、左部の平面において、
(－x－y)＋(－x＋y)＝1より、x＝－1/2
x＋y＜0かつx－y≧0、すなわち、
y＝xとy＝－xの2直線で分割される座標平面のうち、下部の平面において、
(－x－y)＋(x－y)＝1より、y＝－1/2
これにより、重心が原点にあり、1辺が1で4辺が軸平行な正方形ができます。
