数学・物理学入門：学第１１章：ニュートンの運動の法則

１１．１：力

重さ：　ｗ　＝　ｍｇ、　ただし「ｍ」は質量、「ｇ」は重力加速度
ニュートン：　１Ｎ　＝　１ｋｇ＊ｍ／ｓ＾２、　１Ｎ　＝　０．２２４８ｌｂｓ
垂直抗力：物体を置いている面からその物体に動く、重力とつりあう力。この力のおかげで、物体はその面より下に落ちることはできない。
静止摩擦力：物体が滑り出さないようにする力
最大静止摩擦力：Ｆs　＝　μsＮ
運動摩擦力：Ｆk　＝　μkＮ；、動いている物体の運動を阻止しようとする力

１１．２：力が物体の運動に与える影響　ーー　ニュートンの運動の法則の応用

ニュートンの運動の第１法則：Ｆnet（合力）　＝　０のとき、物体の運動は変化しない
ニュートンの運動の第２法則：Ｆnet　＝　ｍａ
ニュートンの運動の第３法則：いかなる力に大しても大きさが同じで向きが正反対の力が存在する。あるいは２つの物体が接触するとき、大きさが同じで向きが正反対の力を互いに及ぼしあう。

数学・物理学入門：第１０章：２次元および３次元における運動

１０．１：ベクトルの使用

２次元の変位：　△ｒ　＝　ｒｆ　－　ｒｉ
２次元および３次元の平均速度：ｖａｖｇ　＝　△ｒ／ｔ　＝　（ｒｆ－ｒｉ）／ｔ
２次元および３次元の運動を記述する式：
　　　　ｖｆ　＝　ｖi　＋ ａｔ
　　　　△ｘ　＝　１／２（ｖf＋ｖi）ｔ
　　　　△ｘ　＝　ｖiｔ　＋ １／２ａｔ＾２

１０．２：投射物

投射物：空中を飛んでいく物体
投射物の鉛直方向の運動：
　　　　ａy　＝　－９．８ｍ／ｓ＾２
　　　　ｖfy　＝　ｖiy　＋ １／２　ａyｔ
　　　　△ｙ　＝　ｖiyｔ　＋ １／２ａyｔ＾２
投射物の水平方向の運動
　　　　ａx　＝　０ｍ／ｓ＾２
　　　　ｖx　＝　△ｘ／ｔ

数学・物理学入門：第９章： １次元における運動ー導関数によるアプローチ

９．１：　グラフで見る速度と導関数

平均速度：　ｖａｖｇ　＝　（ｆ（ｂ）　＋　ｆ（ａ））／（ｂ　－　ａ）
瞬間速度：位置が時間の関数「ｆ（ｔ）」として評される時、「ｔ＝ａ」に置ける瞬間速度は
　　　　ｖ　＝　ｌｉｍ　ｈ－＞０　（　ｆ（ａ　＋　ｈ）　－　ｆ（ａ））　／　ｈ
　　　　ｖ　＝　ｆ’（ｔ）

９．２：　グラフで見る加速度と２次導関数

平均速度：　ａａｖｇ　＝　（ｆ（ｂ）　＋　ｆ（ａ））　／　（ｂ　－　ａ）
瞬間速度：　ａ　＝　ｌｉｍ　ｈ－＞０　（ｆ（ｔ　＋　ｈ）　－　ｆ（ｔ））／ｈ
　　　　ａ　＝　ｖ’（ｔ）
　　　　ａ　＝　ｙ’’（ｔ）

数学・物理学入門：第８章：１次元における運動

８．１：　速さと速度

速さ：　物体がどれぐらい速く動いているかを測定したもの
速度：　速さと向きを合わせたもの
速度が一定の場合の変位：　変位　＝　速度×時間；　Ｄ　＝　ｖ×ｔ
平均速度：　ｖａｖｇ　＝　△ｘ　／　ｔ　＝（ｘｆ　ー　ｘｉ）　／　ｔ
瞬間速度：　瞬間と言えるほど短い時間における平均速度のこと

８．２：　加速度

加速度：　速度の単位時間あたりの変化率を測定したもの；　ａ＝△ｖ／△ｔ＝（ｖｆ－ｖｉ）／（ｔｆ－ｔｉ）

８．３：　運動を記述する式
式１：　ｖｆ　＝　ｖｉ　＋　ａ×ｔ
式２：　ｖａｖｇ　＝　（ｖｉ＋ｖｆ）／２
式３：　△ｘ　＝　１／２（ｖｉ＋ｖｆ）×ｔ
式４：　△ｘ　＝　ｖｉ×ｔ　＋ １／２ａｔ＾２
式５：　ｖｆ＾２　＝　ｖｉ＾２　＋　２ａ△ｘ
重量か速度：　９．８ｍ／ｓ＾２

数学・物理学入門：第７章：単位の変換

７．１：　メートル法

メートル法の接頭語：　キロ：１０００、　ヘクト：１００、　デカ：１０、　メートル／グラム：１、　デシ：０．１、　センチ：０．０１、　ミリ：０．００１

７．２：　異なる単位系への変換

変換率：　分子と分母が等しい分数

７．３：コンピューターで使われる単位の変換：

バイナリコード：　０と１を羅列したもの
バイト：　８ビット

数学・物理学入門：第６章：変換

変換：　オブジェクトを移動させること
アフィン：　移動後もオブジェクトの基本的な形が保たれる

６．１：　平行移動

平行移動：物体を上下左右に動かす
行列の足し算による平行移動：　［　ｘ’　ｙ’　］　＝　［　ｘ　ｙ　］　＋ ［　ｄｘ　ｄｙ　］、ただし、ｄｘ＝ｘの変化　ｄｙ＝ｙの変化
行列の掛け算による平行移動：
　　　　［　ｘ’　］　　　　［　１　０　ｄｘ　］　［ｘ］
　　　　［　ｙ’　］　＝　［　０　１　ｄｙ　］　［ｙ］
　　　　［　１　］　　　　　　［　０　０　１　　］　［１］

６．２：　スケーリング（拡大・縮小）

スケーリング：　（ただし、Ｓｘ＝ｘ軸方向の倍率、Ｓｙ＝ｙ軸方向の倍率）
　　　　［　ｘ’　］　　　［　Ｓｘ　０　　０　］　［　ｘ　］
　　　　［　ｙ’　］　＝　［　０　Ｓｙ　０　］　［　ｙ　］
　　　　［　１　］　　　［　０　　０　　１　］　［　１　］

６．３：　回転

２次元の回転：　（ただし、Θは回転角を表す）
　　　　［ｘ’］　　　　［　ｃｏｓΘ　－ｓｉｎΘ　０］［　ｘ　］
　　　　［ｙ’］　＝　［　ｓｉｎΘ　ｃｏｓΘ　　０］［　ｙ　］
　　　　［１］　　　　［　０　　　　０　　　　１　］［　１　］

３次元におけるｚ軸まわりの回転（ロール）
　　　　［　ｘ’　］　　［　ｃｏｓΘ　－ｓｉｎΘ　０　０　］　　　［　ｘ　］
　　　　［　ｙ’　］＝　［　ｓｉｎΘ　ｃｏｓΘ　　０　０　］　＝　［　ｙ　］
　　　　［　ｚ’　］　　　［　０　　　　０　　　　１　０　］　　　［　ｚ　］
　　　　［　１　］　　　［　０　　　　　０　　　　０　１　］　　　　［　１　］

３次元におけるｘ軸まわりの回転（プッチ）
　　　　［　ｘ’　］　　［　１　　　　　０　　　　０　０　］　　　［　ｘ　］
　　　　［　ｙ’　］＝　［　０　　ｃｏｓΘ　－ｓｉｎΘ　０　］　＝　［　ｙ　］
　　　　［　ｚ’　］　　　［　０　　ｓｉｎΘ　ｃｏｓΘ　０　］　　　［　ｚ　］
　　　　［　１　］　　　［　０　　　　　０　　　　０　１　］　　　　［　１　］

３次元におけるｙ軸まわりの回転（ヨー）
　　　　［　ｘ’　］　　［　ｃｏｓΘ　　０　　ｓｉｎΘ　　０　］　　　［　ｘ　］
　　　　［　ｙ’　］＝　［　０　　　　　１　　　０　　　　０　］　＝　［　ｙ　］
　　　　［　ｚ’　］　　　［　－ｓｉｎΘ　０　　ｃｏｓΘ　０　］　　　［　ｚ　］
　　　　［　１　］　　　［　０　　　　　０　　　０　　　１　］　　　　［　１　］

６．４：　合成
合成：　複数の変換行列を一つの組み合わせ行列にまとめる
組み合わせ行列：　（ｒの要素にはスケーリングと回転に関する情報がふくまれ　ｔの要素には平行移動に関する情報が含まれ）
　　　　［　ｒ００　ｒ０１　ｒ０２　ｔｘ　］
　　　　［　ｒ１０　ｒ１１　ｒ１２　ｔｙ　］
　　　　［　ｒ２０　ｒ２１　ｒ２２　ｔｚ　］
　　　　［　０　　　０　　　０　　　１　　］

ＯｐｅｎＧＬ形式とＤｉｒｅｃｔＸ形式間の変換：　（ＡＢ）Ｔ　＝　ＢＴＡＴが成り立つ

数学・物理学入門：第5章：行列の演算

５．１：　等しい行列
行列：　数値のみを記憶できる配列
要素：　行列の中の一つ一つの数字
等しい行列：　①型が同じで、　②対応する要素がすべて等しい

５．２：　行列の加法の減法
行列の足し算：　２つの行列が同じ型であるときに限り和が定義でき、対応する要素どうしを足し合わせる
行列の引き算：　２つの行列が同じ型であるときに限り差が定義でき、対応する要素どうしを引き算する

５．３：　行列のスカラー倍
行列のスカラー倍：　いかなる値のスカラー値ｃ、またいかなる型の行列Ａにたいして、
　　　　ｃＡ　＝　「　ｃＡ００　…　ｃＡｍｎ　」

５．４：　行列の乗法
２つの２ｘ２行列の掛け算：
　　　　Ａ　Ｂ　＝　「　（　ａ００ｂ００　＋　ａ０１ｂ１０　）　（　ａ００ｂ１０　＋ａ０１ｂ１１　）
　　　　　　　　　　　　 （　ａ１０ｂ００　＋　ａ１１ｂ１０　）　（　ａ１０ｂ１０　＋　ａ１１ｂ１１　）　」
積が定義できるための条件：　Ａ　Ｂ　が定義できるためには、Ａの列数とＢの行数が同じでなければならない
積の型：　Ａ　Ｂ　が定義できた場合、行列　Ａ　Ｂ　は＜Ａの行数＞×＜Ｂの列数＞型行列になる
行列の乗法は交換不可能：いかなる型の行列ＡおよびＢに対しても、　一般に　Ａ　Ｂ　≠　Ｂ　Ａ　である

５．５：　行列の転置
行列の転置：　各要素の行と列をただ単に入れ替える；　各要素はａｍｎ（転置前）からａｎｍ  （転置後）に移動する

数学・物理学入門：第4章：ベクトル演算

４．１：　ベクトルとスカラー

スカラー：　大きさのみ
ベクトル：　大きさ＋向き
変位：　距離のベクトル版、　変位　＝　最終位置　－　最初位置
速度：　速さのベクトル版

４．２：　極座標とデカルト座標
極座標：　ベクトルＡ　＝　∥Ａ∥＠Θ、　ただし、「∥Ａ∥」はベクトルＡの大きさを表し、「Θ」は向きを表す
ベクトルのデカルト座標表示　（又は、成分表示）：　ベクトルＢ　＝　ｂ１ｉ　＋　ｂ２ｊ、　ただし、「ｉ」はＸ軸方向の単位ベクトル、「ｊ」はＹ軸方向の単位ベクトル
ベクトルの極座標表示からデカルト座標表示へ変換：　Ａ　＝　∥Ａ∥＠Θ　は　Ａ　＝　a１i　＋　a２j　と書くことはできる
ベクトルのデカルト座標表示から極座標表示へ変換：　Ｂ　＝　ｂ１ｉ　＋　ｂ２ｊ　のとき、　∥Ｂ∥　＝　sqrt（　ｂ１＾２　＋　ｂ２＾２　）、　Θ＝ｔａｎ＾－１ （ ｂ２ / ｂ１ ）

４．３：　ベクトルの加法と減法
ベクトルの加法の交換法則：　いかなるベクトルＡとＢに対しても、　Ａ　＋　Ｂ　＝　Ｂ　＋　Ａ　が成り立つ
数値による２次元ベクトルの足し算：　Ａ　＝　ａ１ｉ　＋　ａ２ｊ　、　Ｂ　＝　ｂ１ｉ　＋　ｂ２ｊ　のとき、Ａ　＋　Ｂ　＝　（ａ１＋ｂ１）　ｉ　＋　（ａ２＋ｂ２）　ｊ

４．４：　ベクトルのスカラー倍
極座標表示ベクトルのスカラー倍：　スカラー量をｃ、ベクトルを　Ａ　＝　∥Ａ|∥＠Θとすると、ｃＡ　＝　ｃ∥Ａ∥＠Θ
デカルト座標表示ベクトルのスカラー倍：　スカラー量をｃ、　Ａ　＝　ａ１i　＋　ａ２j　をすると、ｃＡ　＝　cａ１i　＋　cａ２j
２次元ベクトルの正規化：　ベクトル　Ａ　＝　[　ａ１　ａ２　]　のとき、ｎｏｒｍ（Ａ）　＝　Ａ　＊　（ １ / ∥Ａ∥ ）　＝　［　ａ１/∥Ａ∥　ａ２/∥Ａ∥　ａ３/∥Ａ∥　］

４．５：　内積　（又はスカラー積）

２次元における内積：　Ａ　・　Ｂ　＝　ａ１ｂ１　＋　ａ２ｂ２
垂直チェック：　Ａ　・　Ｂ　＝　０　なら、　Ａ⊥Ｂ
内積が正あるいは負のとき：
　　　　Ａ　・　Ｂ　＜　０　のとき、　Θ　＜　９０°
　　　　Ａ　・　Ｂ　＞　０　のとき、　Θ　＞　９０°
２つのベクトルのなす角：　Ａ　・　Ｂ　＝　∥Ａ∥∥Ｂ∥ｃｏｓΘ

４．６：　外積　（又はベクトル積）
外積：　Ａ　×　Ｂ　＝　[　（　ａ２ｂ３　－　ａ３ｂ２　）　（　ａ３ｂ１　－　ａ１ｂ３　）　（　ａ１ｂ２　－　ａ２ｂ１　）　]
垂直なベクトル：　Ａ　×　Ｂ　はベクトルＡにもＢにも垂直
外積は交換不可能：　Ａ　×　Ｂ　≠　Ｂ　×　Ａ　、　（２つの３次元ベクトル「Ａ」と「Ｂ」にたいして、一般に　「　Ａ　×　Ｂ　＝　-　（　Ｂ　×　Ａ　）」　）
面法線：　２つの３次元ＡおよびＢとすると、　面法線　＝　（　Ａ　＾×　Ｂ　）　＝　（　Ａ　×　Ｂ　）　/　∥　Ａ　×　Ｂ　∥
２つのベクトルのなす角：　∥　Ａ　×　Ｂ　∥　＝　∥Ａ∥∥Ｂ∥　ｓｉｎΘ

数学・物理学入門：第3章：三角法の基礎

３．１：度とラジアン

角：頂点と交わる2本の半直線、始辺・終辺で作られます
度からラジアンの変換：　＜度で表した角＞　ｘ　（π^ｒ / １８０°）　＝　＜ラジアンで表した角＞
ラジアンから度の変換：　＜ラジアンで表した角＞　ｘ　（１８０°/　π＾ｒ）　＝　＜度で表した角＞

３．２：三角関数

三角関数：
　　　　ｓｉｎα　＝　ｏｐｐ / ｈｙｐ
　　　　ｃｏｓα　＝　ａｄｊ / ｈｙｐ
　　　　ｔａｎα　＝　ｏｐｐ / ａｄｊ
　　　　ｃｓｃα　＝　ｈｙｐ / ｏｐｐ　＝　１ / ｓｉｎα
　　　　ｓｅｃα　＝　ｈｙｐ / ａｄｊ　＝　１ / ｃｏｓα
　　　　ｃｏｔα　＝　ａｄｊ / ｏｐｐ　＝　１ / ｔａｎα
　　　　ただし、ｏｐｐは角αに対向する辺、ａｄｊは角αに隣接する辺、ｈｙｐは斜辺

正弦波の周期：　ｙ　＝　ｓｉｎ（Ｂｘ）の周期は、３６０°/ ｜Ｂ｜
正弦波の振幅：　ｙ　＝　Ａｓｉｎ（ｘ）の振幅は、｜Ａ｜

３．３三角関数の公式

単位円：中心を原点をする半径１の円
単位円の公式：　ｃｏｓ＾２α　＋　ｓｉｎ＾２α　＝　１
タンジェントとコタンジェント：　
　　　　ｔａｎα　＝　ｓｉｎα / ｃｏｓα
　　　　ｃｏｔα　＝　ｃｏｓα / ｓｉｎα
負の角の公式：
　　　　ｓｉｎ（－α）　＝　－ｓｉｎ（α）
　　　　ｃｏｓ（－α）　＝　ｃｏｓ（α）
　　　　ｔａｎ（－α）　＝　－ｔａｎ（α）

正弦の加法定理：
　　　　ｓｉｎ（α＋β）　＝　ｓｉｎαｃｏｓβ　＋　ｓｉｎβｃｏｓα
　　　　ｓｉｎ（α－β）　＝　ｓｉｎαｃｏｓβ　－　ｓｉｎβｃｏｓα

余弦の加法定理：
　　　　ｃｏｓ（α＋β）　＝　ｃｏｓαｃｏｓβ　－　ｓｉｎαｓｉｎβ
　　　　ｃｏｓ（α－β）　＝　ｃｏｓαｃｏｓβ　＋　ｓｉｎαｓｉｎβ

数学・物理学入門：第２章：幾何学の基礎

２．１点間の距離
ピタゴラスの定理：　ａ＾２　＋　ｂ＾２　＝　ｃ＾２　　ただし、「ａ」と「ｂ」は直角三角形の直角をはさむ２辺を表し、「ｃ」は斜辺を表す
距離の公式：　ｐ１ｐ２　＝　ｓｑｒｔ（　（ｘ２－ｘ１）＾２　＋　（ｙ２－ｙ１）＾２　）
中点の公式：　Ｍ（　（ｘ１＋ｘ２）　/　２　、　（ｙ１＋ｙ２）　/　２　）

２．２放物線
放物線：弧状の突起
直点：突起の先端
対称軸：直点を通って放物線の真っ２つに分割する軸
対称軸が鉛直な放物線：　ｙ　＝　ａ（ｘ－ｈ）＾２＋ｋ　　ただし、直点が「（ｈ、ｋ）」で対称軸が「ｘ＝ｈ」
対称軸が水平な放物線：　ｘ　＝　ａ（ｙ－ｋ）＾２＋ｈ　　ただし、直点が「（ｈ、ｋ）」で対称軸が「ｙ＝ｋ」

２．３円と球
円の方程式：　（ｘ－ｈ）＾２　＋　（ｙ－ｋ）＾２　＝　ｒ＾２　　ただし、円の中心は「（ｈ、ｋ）」、半径は「ｒ」
球の方程式：　（ｘ－ｈ）＾２　＋　（ｙ－ｋ）＾２　＋（ｚ－ｌ）＾２　＝　ｒ＾２　　ただし、球の中心は「（ｈ、ｋ、ｌ）」、半径は「ｒ」

２．４衝突検知への応用
２つの円の衝突検知：　（ｈ２－ｈ１）＾２　＋　（ｋ２－ｋ１）＾２　＜＝　（ｒ１＋ｒ２）＾２
２つの球の衝突検知：　（ｈ２－ｈ１）＾２　＋　（ｋ２－ｋ１）＾２　＋　（ｌ２－ｌ１）＾２　＜＝　（ｒ１＋ｒ２）＾２