シュレーディンガー方程式を、文系的（の割には理系的？）にかたってみましょう！

シュレーディンガー方程式を、文系的（の割には理系的？）に、かたってみましょう！

桜井芳生　文化社会学・遺伝子社会学　著作権保持210219

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スマホといったら？、量子力学

量子力学といったら、シュレーディンガー方程式ですよね！

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シュレーディンガー方程式を、文系的（の割には理系的？）にかたってみましょう！

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シュレーディンガー方程式とは

　　　i h/2π　　×　∂ψ/∂ t = H ψ　　　　（式１）

という式であらわされます

ただし、

iは虚数単位

∂　は微分記号（ラウンドディー　とか　たんに　ディー　とよむようです）

ｈは、プランクがみつけた、プランク定数

H　は、　ハミルトニアン　（以下にくわしく）

ψ　（プサイ、英語でいえばy）は　波動関数　

を、あらわします。

上記の「h/2π」の部分は、プランク定数を「２×円周率π」でわったものなので、これも一定（定数）で、

ディラック定数とよばれ、ℏ　　（エイチバー）

であらわされます（なぜポール・ディラックの名がついているかは知りません）。つまり

ℏ＝h/2π　　で、

以下、ただの代入で、（式１）は

　i ・ ℏ　×　∂ψ/∂ t = H ψ　　　　（式２）

と表現しなおすことができます。（たんに表記をかえただけ）。

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こんな、ℏ（エイチバー）なんて、うまれてはじめみる表記をみるから、

↓

初学者は　「脳みそストップ」しちゃうんですよねぇ！

べつにただの一つの定数です。

（式２）をちょっとだけ、みためかえると、

i ・ ℏ　×　∂/∂ t　ψ　＝　H　ψ　　　（式３）

となって、

↓

左辺は、　関数　ψを　時間ｔで微分して、それに定数ℏと虚数単位i　をかけたもの

↓

右辺は、その同じ関数ψに、ハミルトニアンH　を　きかせたもの

↓

その両辺がひとしいというわけですから

ある関数の一階微分にうんにゃら掛けたら、その関数自体に、Hをきかせたものに等しい

↓

という、まさに、一階の「微分方程式」ですね！

というわけで、通常の量子力学（の問題）を「解く」とは、（一番簡単な場合）、この「微分方程式を解く」ことですね！

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それから、式の左辺に関数ψがでてるのに、右辺にも関数ψがでてきて、

行列の固有値・固有ベクトルの問題になーんか、にてますよね、って、わけで

じつは、シュレディンガー方程式を解くって、固有値問題を解くことです。

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が、これは、「理系」の学生さんに、「理系」のテキストで勉強してもらうことにおまかせして、

↓

シュレディンガー方程式が

↓

どのようにしてできたか、をかたってみましょう！

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前提にする材料は、つぎの二つです

①ド・ブロイの関係式　λ＝h/p

(λは　ド・ブロイ波の「波長」、ｈは上述のプランク定数、ｐは運動量)

②不確定性原理　　Δx・Δp>= ℏ/2

位置xの範囲と　運動量pの範囲をかけあわたものは、一定数より大っきい。

↓

いいかえると、運動量の範囲を絞り込んでいく（Δpを０にちかづける）ほど、位置xの範囲Δxはとてつもなく大きくなってしまう

↓

いいかえれば「どこにあるかわからなくなってしまう」

↓

で、この式をみれば逆もまた同様。

↓

で、位置xの範囲Δxを絞り込んでいく（Δxを０にちかづける）ほど、運動量の範囲もとてつもなく大きくなってしまう

↓

いいかえれば「運動量がどのくらいかわからなくなってしまう」

↓

というと、「こちらたてれば、あちらたたない」関係になっているわけ。

と、いう、以上、①と②の二つ　です。

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まず、波動方程式を定式化したいので、ド・ブロイの関係式に三角関数（サインとかコサインとか）つかえないかとかんがえますが、うまくいきません（不確定原理に反してしまう）

↓

ですが、複素数をつかってみると、オイラーの公式がうまーくはたらいて（3:40あたり。予備校のノリで学ぶ「大学の数学・物理」）

なんかがでてきます。

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（数学的なブレイクスルーって、こういうように、○○の定理をうまーくつかうと、この部分とあの部分がうまーく打ち消しあって（「キャンセルしあって」っていいます）、きれいな所望の形に近づいていく……というストーリーがよくでてきます）

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こうしてでたきたのを

偏微分してみると……

なーんだかよくわからない数式（演算子）が、紙のうえででてきますが、

天下り的に！

↓

この「なんだかよくわからない数式の部分」を全部「H（ハミルトニアン）（とよばれる演算子）」と置き換えてみましょう。（天下り的だから、なにやったっていいんです（結末がうまくいけば）！）

「H」は、ベクトルの内積・外積なんかでも有名なウィリアム・ローワン・ハミルトン（1805年8月4日 - 1865年9月2日　は、アイルランド・ダブリン生まれのイギリスの数学者、物理学者。四元数と呼ばれる高次複素数を発見したことで知られる。）の名にゆらいします。

とか、なんとかいった作業を

波動方程式であるかのように「でっちあげ」て、「けっこう、観察結果と一致してるから、いいしょー」

↓

と　、シュレディンガー（という当時すでに40歳で、理論物理学者のブレークとしては必ずしも若いとはいえない、まあまあ無名の）がでっちあげたものです。

（エルヴィン・シュレーディンガーは、このド・ブロイ波の考え方を発展させることでシュレディンガー方程式を得た。解釈に難点があり一時放棄されていたがユダヤ系アメリカ人のデヴィッド・ボームによって復活させられた[3]（ド・ブロイ–ボーム解釈）。https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%89%E3%83%BB%E3%83%96%E3%83%AD%E3%82%A4%E6%B3%A2　　）

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というわけで、

ニュートン方程式　　　　F＝ｍa

↓

から、必然的に一意に「力学的エネルギー保存の法則」「運動量保存の法則」、さらには、ケプラーの三法則などなど古典力学のほとんど半分？（あと半分はマックスウェルの方程式由来）の法則を導くことができ、また

光速度不変の原理と相対性原理によって、

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（ほとんど一意的に）特殊相対性理論が導出できる

↓

のなどとはまったくことなって、いわば

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「結果オーライ」で、シュレーディンガーがつくった（でっちあげた）ものといえるでしょう！（以下％％参照）。