割合の応用問題である損益算があります
「損益算」というのは、
物の売買による金銭の増減を計算する問題類型です。
具体的には、次のような問題があります。
【問題】
ある品物を仕入れて原価の40%の利益を見込んで定価をつけたが売れなかったので、安売りの日に定価の20%引きで売ったら480円の利益を得た。この品物の原価を求めなさい。
今回はこの問題を使って、
損益算の考え方を解説します
※中学生向けの記事なので、
一次方程式の解法を使います。
このタイプの問題を解く際には、
何をxにするのかをまずは決めましょう。
特殊な問題でない限り、
求めたい数値をxにするのが一番楽です。
【問題】では「品物の原価」を求めます。
したがって、品物の原価をxとします
次に図を描くことが大切です
では、どのような図を描くのか？
損益算では、下図のように
３本の線分を描くと分かりやすいです
ここでポイントとなるのは、
損益算に関する次の関係です。
定価＝原価＋利益
この関係が成り立つ理由についても
本来であれば説明しなければならないのですが、
今回は時間の関係上省略させていただきます。
とりあえずこの関係を踏まえて、
定価は原価よりも長い線分で描きます
また、多くの場合、
定価＝売値（実際に販売したときの値段）
となるのですが、【問題】ではそうなりません。
なぜなら、定価から値引きして売ったからです
ただし、実際に販売して利益が出ているので、
売値は定価よりも短く
原価よりも長い線分で描きます
では、これらの線分に数値や文字を書き込んでいきましょう！
線分は２本ずつ見ていくのがポイントです。
まずは原価と定価の関係から～
この図では、
もとにする量である原価を１すると、
利益が原価に対する比べられる量となるので、
40%を小数に直して0.4としました。
したがって、利益は0.4×x＝0.4x（円）です
定価は、「原価＋利益」なので、
x＋0.4x＝1.4x（円）ですね
ここでよく質問が出るのは、
そもそも「もとにする量」ってどれですか？
こういう質問が出て来るのは当然です。
「もとにする量」とか「比べられる量」とか、
何だかよく分からない用語を使うから、
多くの生徒達が割合の分野で混乱するのです
しかし、損益算に関しては、
普段は分かりにくい割合の用語のうち
「もとにする量」は比較的分かりやすいです
損益算では、次のように考えて
「もとにする量」を見つけていきましょう～
「ある品物を仕入れて原価の40%の利益を見込んで定価をつけた」
ここまでで、ある品物の値段が
原価から定価へと変化しています。
このとき、もとの値段は原価ですか？定価ですか？
ふつうに考えれば、
もとの値段は原価ですよね？
ここを間違える生徒は今までいませんでした(笑)
「もとの値段」が分かったら、
それを「もとにする量」と考えてください
こうしてもとにする量が分かったら、
数直線のもとにする量（原価）の下側に１と書き込んでください。
あとは、割合の公式でも使って、
利益や定価を出して下さいね（公式の利用法についてはこちら ）
次に定価と売値の関係です～
原価と定価の関係と同様に、
定価と売値の関係を考えてみます。
定価から売値へと変化したとき、
もとの値段は定価ですよね？
したがって、定価をもとにする量と考えます。
数直線のもとにする量（定価）の下に１を書き込みます。
更に、数直線の値引き額の下に
20%を小数に直した0.2を書き込みます。
定価に対する値引き額が比べられる量なので、
値引き額は1.4x×0.2＝0.28x円です
売値から生じる利益の480円も書き込むと、
数直線は次のようになるはずです～
以上を踏まえて、
再度冒頭の三本線に金額だけを書き込んでいきます
ここまで図を描いたら、
長さの等しい部分を見つけて方程式を作ります。
上の図の赤枠で囲った部分が長さの等しい部分ですね！！
これを方程式で表すと次の通りです。
0.4x＝480＋0.28x
移項して解きます～
0.4x－0.28x＝480
0.12x＝480
x＝480÷0.12
x＝4000 答、4000円
多くの小中学生が苦手とする損益算も、
数直線をしっかり描いて
割合の考え方を用いれば簡単です
特に、割合の考え方を用いる場合、
「もとの値段」が「もとにする量」である
という当たり前のことを意識してくださいね！！