２０２５年１１月１０日（月）
ロピタルの定理は、正規には高校数学（数学Ⅲ）では扱わない。そこで、数学Ⅲのテストや大学入学試験でロピタルの定理を用いて関数の極限値を求めた場合、採点がどうなるのだろうかという疑問が起こる。私は、ロピタルの定理が成立する条件をきちんと明示して定理を適応する分には、問題がないと思っている。大学の数学では、もちろんよく利用する。しかし、高校数学や大学の入学試験では・・・？、となる。何れも採点者がどう考えるか，次第だと思う。
さて、ロピタルの定理の証明は高校数学の範囲で理解できる。ここでは、一番単純な不定形0/0の場合の証明を与えた。よく読めばわかるように、ロピタルの定理はコーシーの平均値の定理を利用して証明される。コーシーの平均値の定理を正規に数学Ⅲで学ぶかどうかは微妙であるが、一つの関数の平均値の定理の発展形と考えればいいだろう。証明も一つの関数の平均値の定理の証明とほとんど同じようにできる。
一度はブログで、ロピタルの定理の証明を述べたいと思っていた。自力で証明することは容易であるが、チャート式数学Ⅲの本にわかりやすく記述してあったので、そちらの証明をなぞった。難しくないので、是非自分でも証明を試みていただきたい。
