２０２５年４月９日（水）
周知のように古典的な微分幾何学は、曲線論では著しい成果を上げることができたと言われている。しか
し、曲面論の分野では十分な結果を得ることができなかった。この分野では、微分可能多様体を対象とした
現代的な微分幾何学の登場を待たなければならなかった。
曲率とは、簡単に曲がり具合のことである。古典的な微分幾何学では、曲率を次のように定義する。少し
難しいが、本文と同値な定義をあげておこう。
（曲率の定義）
曲線C(s) (s∈I）の曲率（curvature)κ(s)とは、この曲線の動標構{e₁(s),e₂(s)}_ s∈Iに対して、
e'₁(s)= κ(s)e₂(s)
を満たすものをいう。
この定義は弧長パラメータ表示された曲線C(s) (s∈I）を局所的にテイラー展開したときの２次 の項の係数
が曲率であることを意味している。
次回のブログで、具体的な平面曲線の曲率を計算しよう。
平面曲線の曲率2 ～古典的な微分幾何学の話題から （２０２５年４月１１日）
ただし、ここでは弧長パラメータ表示された曲線C(s) (s∈I）を使わずに、普通の微分積分学に登場するy＝f(x)
の曲率と曲率半径を求めることにしよう。計算は、煩雑になるが・・・。
余分なことであるが、平面曲線のときと違って空間曲面の場合はいろいろな曲率を考えることができる。それ
ぞれについての定義については触れないが、名称だけあげておこう。
法曲率 主曲率 平均曲率H ガウス曲率K
平均曲率H、ガウス曲率Kは、古典的な微分幾何学では第Ⅰ基本量・第２基本量を用いて計算できる。例えば
ガウス曲率K＝(LN － M²)/(EG－F²）
と言ったように・・・。ちなみに曲面Ｓ(u,v)に対して
第Ⅰ基本形式 Edu²＋2Fdudv＋Ｇdv²
第Ⅱ基本形式 Ｌdu²＋2Ｍdudv＋Ｎdv²
である。（記述の誤りがあったので、訂正した。）
ちょっと休息
（１）４月８日（火）のFacebook投稿より
学習の記録
今日は朝７時２５分頃に自宅を出て、途中にコンビニに寄ったあと、ＯＫＢふれあい会館に向かいました。
いつもの経路です。駐車場に着いたのは、８時２５分頃でした。
９時まで学生控え室で休憩した後、視聴学習スペースに入室しました。今日は『世界の学校’24』の提出用
の通信課題を解くことが目当てでした。印刷教材をにらみながら、集中して問題１０問に向かいました。
途中、１０時１５分ぐらいから１５分ぐらいロビーで休息してから、再び視聴学習スペースに入りました。
第７章「シンガポールの学校教育」のところで、印刷教材に記述がなくて放送授業を聴かなければならない問
題が２問ほどありました。それで、第７章を改めて放送授業を聴きました。ただし、はじめから全部聞いたわ
けでなく、問題に関連あるところだけ視聴しました。それで、残り２問を解くことができました。「シンガポー
ルの学校教育」が学習の中心になりました。
１１時２０分から昼食をとりました。１１時４５分頃から１３時まで視聴学習スペース数学の偏微分・重積分
の練習問題を解いていました。
１３時過ぎに、学習センターを後にしました。