２０２６年１０月１日（木）
本ブログで取りあげる大学で学ぶ数学は、微分積分学や線形代数学が中心である。複素解析学（留数解析を含む）や古典的な微分幾何学について、述べることもある。私が最も学習をした多様体論についても書いたことがあった。もっとも、何れも単発的で系統性はないことを承知しておいていただきたい。今回は、線形代数学の分野からとりあげてみた。
高校数学で､固有値と多項式の関係が取り扱われていたのは、２次正方行列に関してのケーリー・ハミルトンの定理である。
Aを２次正方行列とする。このとき、
A²－(tr A)A+(det A)E=0 tr A はAの対角成分 det AはAの行列式の値
が成立するという定理のことである。
ところで
Ax＝λｘ ｘ≠０
で、λのことを固有値という。
（A－λE)x=0
から、固有多項式φ(λ)は
φ(λ)＝det(A－λE）＝λ²－(tr A)λ+(det A)
となる。この固有多項式にλ＝Aを代入すると
φ(A)＝A²－(tr A)A+(det A)E=0
となるわけである。
今回のブログは、行列A（複素行列を含む）の固有値と固有多項式について述べた。固有多項式より次数が低いか等しい多項式を最小多項式というが、今回は触れなかった。
