双曲線関数１～その定義と加法定理

２０２４年１２月１１日（水）

　高校数学には登場しない双曲線関数について、まとめて整理しておこう。２回にわたって、考えて

見よう。

　　双曲線関数１～その定義と加法定理　（２０２４年１２月１１日）＜本ブログ＞

　双曲線関数の定義は、難しくない。定義から直ちに　　　

　　tanh x=sinh x/cosh x

がわかる。このことから、高校数学で習った三角関数の性質と類似していることがわかる。しかし、三角

関数では

　　　　cos²x＋sin²ｘ＝1

であるが、双曲線関数では

　　　　cosh²x－sinｈ²x＝1

となる。したがって、

　　　　－1≦ cos x≦１　　,　－1≦ sin x≦１

は成立しない。 cosh x　については、定義から

　　　　cosh x≧1

とわかる。

　上に述べたことも含め、双曲線関数の加法定理を三角関数のそれと比較しながら眺めてほしい。

ちょっと休息

（１）１２月１５日の試験対策

　学位授与機構の論文試験まであと1週間もなくなったので、確認のために今日から朝２時間程最後の確認

作業をすることにした。今日は回転体の表面積Sの公式

　　　　S＝2π∫_[a,b] |f(x)|√{1+{f'(x)}²｝dx

の証明とこれを使って球の表面積の計算をまず確認した。その後、古典的微分幾何学の曲面論での第1基本

量を使って球の表面積を求める方法を自力で解いてみました。S(u,v)について、重積分で表すと

　　　　S＝∬_D　√（EＧ－Ｆ²)dudv Dは適当な領域

E=| ∂S/∂u・∂S/∂u |＝‖∂S/∂u‖²　,F= ∂S/∂u・∂S/∂u , G= | ∂S/∂v・∂S/∂v |＝‖∂S/∂v‖²

で求められる。ただし、球の表面積に適応するには、実際Dの条件の基で計算をする。

　　　　　Ｓ(u,v)=(r sin u cos v, r sin u sin v, r cos u)

D={(u,v)|－π/2≦u≦ π/2,0≦v≦2π,r>0の定数｝

条件も重要であるから、丁寧に・・・。

　確認していたら、レポートの誤りに気づいてがっかりさせられた。合格は難しくなったと思った。

※　関連ブログ

　　　楕円面　～古典的微分幾何学の曲面論より　　（２０２４年１１月２７日）

（２）１２月１０日（火）のFacebook投稿より・・・黄色カタクリの球根を植える

　メルカリで購入した黄色カタクリの球根３つが今日届いたので、早速植えつけた。土は、山野草の

土を使った。メルカリの購入には、ブログのアクセスに応じて付与されるＤポイントを一部利用した。

　普通のカタクリは、以前に植えてあるので、別の鉢に植えた。何れも市販されているものであるが、

私の近郊の店にはないのでメルカリでの注文になった。

双曲線関数１ ～その定義と加法定理