こんにちは、訪問ありがとうございます。
先日、高校生を対象とした
数学オリンピックの特別講座が学校でありました。
理事長紹介ページ(理事長 藤田 岳彦先生)
なんでも、春休み前に、
数学オリンピック級の問題を20題ほど渡されて、
高校生の諸君に、やる気がある人は解いてみましょうと
言われたようです。
で、中学生でもやる気があればやってみるといいよ
という事で、
長男くんも刺激を受けて問題をもらってきて
ちょっと考えたようです。
お、変態への道をのぞいてみたくなった様子。ー
で、ちょうど青チャートの数ⅡBでやっている漸化式の問題を見つけたようで、
私が漸化式得意だったと言ったら、
じゃあ、解いてみろと
言ってきました。
(2)の漸化式解くところまではできました。
一般項bnを用いて、素数が無限個あることを示せ？
はあ！？何言ってるの？
そんな事わかるわけないじゃん。
イミフ、、、、日本語でお願いします
で、青チャートの数ⅠAパラパラめくると
p531ページに「素数は無限個存在する」なんて解説ページがありました。
まあ、でも、この一般項を用いてどうしたいんだ？
背理法に持ち込むというのは、
この問題の制作者に意図に反するもので、
なにか良いことがあるんでしょうね。
そんなもん、解説授業が4月4、5日に理事長が来てしてくれるっていうから
聴いてこいや〜
という話になりました。
ここまで、20年ぶりに漸化式を解いて
頭をだいぶ使いました。
たまにはいいのかも！？
○連続する整数は互いに素
を使うのか？
bnは明らかに奇数で、
b(n＋1)とbnの差は3×2の(n-1)乗
うーん。わからん。
ポンコツのおっさんにはちと荷が重すぎるようだ。
理事長の解答
理事長先生の解答をみてもよーわからん。
青チャートp529の基本例題をよんでと、
p530もよく読んでと
ふむふむp531にも解説があるな、、、と
サイダックが証明した
連続する自然数はA、A＋1互いに素である、
この2つを掛けた数は
異なる素因数を2個以上もつ。
掛け合わしたものに1を足して掛け合わせると
異なる素因数を3つ持つ
これを繰り返すと素因数が無限大と。
なんのこっちゃ？！
⭕️連続する自然数は互いに素であるという性質をもちいると。
2と3から始め。
2×3＝6、これに1を足した7
(6と7)は互いに素であり7という新たな素数が見つかる
6×7＝42と43を考えるとこの2つは互いに素であり
43からは、素因数分解すれば42に含まれない新たな素数が見つかる。
共通した素因数がみつかれば、互いに素とは言えない。
(43は素因数分解できず素数)
42×43＝1806
1806×1807を考えると、1807は素数ではないが
1806の素因数である2、3、7、43を、
素因数に含まないのが1807である。
実際に
1807を素因数分解すると13×139であり、あらたな素数が見つかる。
これを永遠に繰り返すと素数が無限に見つかると。
そうか、そうか、、、
bnは明らかに奇数で
bn＋2も奇数
bn＋2とbnは互いに素でないと仮定する。
この時、最大公約数をkとする。
bn＝k×A
bn＋2＝k×B
k、A、Bは全て奇数の自然数
引くと
2＝kB−kA＝k(B-A)
k＝1、B-A＝2しかない
これは、最大公約数をもつことに反するので
⭕️bnとbn＋2は互いに素である。
また、
b(n＋1)＝bn×(bn＋2)
b(n＋1)はbnとbn＋2が持つ素因数を持つが
b(n＋1)＋2とは互いに素であり、
b(n＋1)＋2は素因数分解することで、b(n＋1)が持たない素因数からなる。
よって、あらたな素数が見つけられる。
b(n＋2)＝b(n＋1)×{b(n＋1)＋2}の新たな項も互いに素だからってこと。
これを繰り返し
b(n＋3)＝b(n＋2)×{b(n＋2)＋2}
b(n＋2)＋2を素因数分解することで新たな素数が見つかるので、
この操作を無限にすることで素数は無限に見つかる。
証明終わり。
青チャート数IAと数ⅡBを読めば、
この問題が理解できた。
長男くんは月と火が春休み課題テストでこんな問題に時間かけられないから
ちゃんと理解できてないから、
次行くときに教えてあげようっと。
中学数学は長男くんの方が完成度が高く、計算能力も早いから
私よりは、実力が上だね。
ただ、解答をみてもすぐに理解できない時の粘り強さは
私の方が上だね。
私は変態への道へ片足を踏み入れた事があるから
ちょっちわからないくらいでは、諦めないし
頑張って理解しようとする根性があるんですよ。
まだ、中3の長男くんには難しすぎたのかもしれないけど、
今後は、粘り強く考える習慣も身について欲しいと思います。
数オリ特別講座は、まだまだたどり着ける領域ではなかったです〜
ちなみに、私の頭の体操にもなりました。
数学が考えることが楽しい！
ちなみに理事長先生の
字が汚くて読みにくいのと
頭の回転が早すぎて話が飛んでわかりにくいのと、
上智大や東大の入試問題も追加でパッパとやり出したりと、
なかなか濃密な2日間だったようです。
うーん、やはり変態への道はとんでもなく険しい道で、
普通は避けて通る道だな〜。
ちなみに「変態への道」は
このことです。