こんにちは、訪問ありがとうございます
中高一貫校に通う長男くん(中2)が
分からないから教えてって言って来た問題です。
長男くん、
中2では、学内試験を3連続1位と調子に乗っています。
青チャート数IA例題を3周し、
今は
青チャート数IAの
練習問題
EXERCISE
→現在は三角比のあたりをしている。
体系問題集数学3
C問題、総合問題
を解きまくって、数IAを完成させようとしている所です。
解説をみて、これちょっとわからんと言ってきた問題は
まだ5題くらいで
だいたいは勝手に青チャートを進めてくれています。
英語は準2級合格で、
2級の問題(reading)は、50%くらいでまだまだ
ターゲット1900のうち1500までを繰り返して覚えています。
特進最高水準問題集
中3英語p30/127
まで進んでいます。
これまで、長男くんがこの範囲は難しいと感じた数学の範囲は
○因数分解
○不等式
この二つは、なかなか内容的に難しいみたいです。
因数分解は今は得意になりましたが、
習い始めは手こずってました。
○不等式は、
未だにちょっと難しくなると手こずるようです。
多分、多くの生徒が不等式で、
数学は難しいと感じると思います。
こんな問題や
↓の問題
なかなか難しいよね〜。
これくらい解ければ、偏差値65くらいは高1でも行くんじゃ無いかな〜？
中高一貫校の良い所は、
時間があるうちに、
苦手分野に時間をかけて先取り出来る
という事です。
高1から、ぶわーとたくさんのことやって、
わからない所が出てきても、
授業はどんどん進んじゃうから
時間をかけて学べないんですよね。
その点、中学生のうちに高校範囲を学習しておけば、
わからなかったら立ち止まって
よく考える事ができます。
まずは、二次方程式の実数解があるという定番問題。
青チャート 数ⅠAｐ219の
EXERCISES 81
不等式ax2+y2+az2-xy-yz-zx≧0
が任意の実数ｘ、ｙ、ｚに対し成り立つような定数aの値の範囲を求めよ
言い換えれば、
すべてのx、y、zにおいて、
不等式が成り立つaの範囲を求めよ。
ってことですが、
2次関数が常に0以上ってことは、
慣れてくれば、
f(x)=ax2+bx+c≧0
a>0かつ判別式が0以下ってことです。
2次関数でa>0以上でグラフは下に凸
つまりＵの形で
この最小値が0以上ってことです。
逆にいえば、
a<0の時はグラフは上に凸で
⋂型であり下には無限に小さい値を取りますから
常に0以上なんて無理です。
a<0の時は
判別式が０未満で
f(x)≦０
ですね。
こんな基本を良く分からず、例題を読み進めてきたのでしょう。
高校数学の関数はグラフを書いて解くということに慣れていないのでしょうね。
中学受験や中学式の計算ゴリ押し
的な考えではいけません。
ax2+y2+az2-xy-yz-zx≧0
でがｘ、ｙ、ｚのどれかの2次関数として
表してと考えます。
ｘ、ｚは2次の項にaが入っていて、
a>0 とa=0の時の場合分けをしなくてはいけません。
a=0だと1次関数となり、
一次関数がつねに0以上というのはありえなさそうですね。
解答に書く説明もめんどくさいし、
2次の項の係数が１である
ｙの2次方程式とした方が無難です。
教える側は、どうしてわからなかったのか
自分がわからなくて、わかるようになったのは
どのような過程を経てかを
思い出して、教えてあげると良いです。
問題集の答えは洗練されていますから
どうして、問題集の答えになっているのか
洗練されていない間違った過程はどうなのかも
考えた方が良いのです。
実際に時間があれば、
ax2+y2+az2-xy-yz-zx≧0
をｘの二次方程式として
z2(2+4a)(4-4a)≦0
8z2(1+2a)(1-a)≦0
つまり
(1+2a)(1-a)≦0
(a-1)(2a+1)≧0
a≧1またはa≦-1/2
また、
(1-4a)<0より
a>1/4を満たさなくてはいけない
解答 a≧1
ちょっと、計算が面倒ですけど
（打つのはもっと面倒）
頭の体操程度ですね。
実数解が常に0以上とか0未満とかは
グラフの形を考えて判別式で考えるという問題です。
これがスラスラ～と解けるのは
たぶん、高１で偏差値60そこそこでは無理でしょう。
高１の私が解けたか？
うーん。時間をかければ解けたぽいと思います。
しかし、中高一貫校の上位陣は
これくらいは中学のうちに解けるようになりますね。
おそろしいですね。
それが中高一貫校の数学教育です。
次回は、もうちょっと
ややこしい問題です。