こんにちは、訪問ありがとうございます
今日は体系数学3 数式・関数編
p22 総合問題
(青チャート EXCERCISE 以上と思われます)
前回の続きです。
私、出来なかった。
解答見て、よく考えてって感じです。
長男くんは解答見てもイマイチわからない風でしたので
まとめました。
⑨(3)
aを正の実数とし、ｘについての不等式llx-2l-3l≦aを考える。
不等式を、満たす整数がちょうど10個であるとき、aの値のとりうる範囲を求めよ。
lAl
l lは絶対値です。
lAl ≦3なら
-3≦A≦3
ということですね。
llx-2l-3l絶対値が2個あってややこしいので、まず１つをはずします。
①x-2≧0の時
②x-2<0の時
と場合わけすると
①lx-2-3l≦a
-a≦x-5≦a
5-a≦x≦5+a
ですね。
5-a≦x≦5+a
は、x≧2 という条件を満たさないといけない
ということは、aの範囲を絞り込むのが目的ですから
5-aが2以上かそうでないかを考えなければいけません。
たとえば、a=1の時
5-aは4であり
5-a≦xはそのままでx-2≧0の時を満たします。
一方で
a＝6の時 5-aは-1であり
5-a≦x≦5+aはそのままでx-2≧0の時を満たさず
2≦x≦5+a
と書き換えなければいけません。
a=3の時から(それ以上で)、2≦x≦5+aに書き換えが必要で、
aが３より小さければ書き換え不要です。
すなわち
a≧3の時は2≦x≦5+a
0<a<3の時は5-a≦x≦5+a
となります。
また
0<a<3の時は
2<5-a<5
5<5+a<8
2<5-a≦x≦5+a<8
ですね。
まとめると
①x-2≧0の時
0<a<3で
2<5-a≦x≦5+a<8
a≧3
2≦x≦5+a
もう、1個目の場合分けからして、なかなか難解です。
②x-2<0の時
llx-2l-3l≦aは
l-x+2-3l≦a
l-x-1l≦a
-a≦-x-1≦a
－１をかけて
a≧x+1≧-a
入れ替えて
-a≦x+1≦a
同様にして
l-f(x)l<a
などがあったら
-a<-f(x)<a
a>f(x)>-a
-a<f(x)<a
ですね。
-a≦x+1≦aから
-1-a≦x≦-1+a
x-2<0の時(x<2)であるから
〇aが3の時(からそれより大きくなると)は満たさず書き換えが必要
→a=3（より大きい）のときは-1＋a≦x＜2
→a≧3の時（-1-a≦-2）
-1-a≦x＜2
〇aが3より小さいと書き換えが不要で
0<a<3の時
-1-a≦x≦-1+a<2
まとめると
x-2<0の時（x<2の時）
a≧3で-1-a≦x＜2
0<a<3で-1-a≦x≦-1+a<2
となります。
今はaの範囲でxの解が整数で10個になるでしたから
a≧3
2≦x≦5+a
-1-a≦x＜2
の整数解が10個になる
2≦x≦5+a
5+aは少なくても8以上であるから
解は２．３．４．５．６．７．８は最低でもある。
-1-a≦x＜2
-1-aは、-4以下であるので
-4、-３、-２、-１、0、1は少なくても解にもつ
合わせて13個は解にもつから不適
0<a<3のとき
2<5-a≦x≦5+a<8
は3，４，５，６，７
で5個
残り5個は
-1-a≦x≦-1+a<2
-3，-2、-1、0，1となればよい
-1-aは
-4を含まず、-3以下なければいけない（-3は含んでOK）
-4＜-1-a≦-3
-3<-a≦-2
3>a≧2
が答えです。
解答をみても長男君がみても分からないというので
私もすぐには理解できず
解読した結果が上記です。
この問題、私が現役のころでも
入試で出ても自力では無理だったと思います。
中高一貫校生って中学生のうちに
むずかしいこと学ぶよね～