こんにちは、訪問ありがとうございます
体系数学2 幾何編も残りはわずかです。
最後の章末問題に苦戦しました
前回一度で終わらせなかったので、画像は使い回しです。
103と104は前回のブログです。
今回は105とこの54の(3)の復習です。
(1)と(2)は省略しますが、
過去のブログに回答があります。
↓
整理もかねて、記事を書きます。
三角柱の重なり合いは、イメージしにくくて難しいです。
105からです
勘違いしやすいのが、
EFとNPは並行で長さが同じという考えです。
間違いです。
EFと並行で長さが同じなのはMPです。
金太郎飴を思い起こしてください。
金太郎が正しく描かれるのは、
真っ直ぐに切った時だけです。
この図で真っ直ぐ切って、
金太郎飴(正三角形)が現れるのは、
MPQで切った時です。
そして、MPQは正三角形です。
(MPQのある平面とONは垂直です)
展開図のうち、想像しやすい
菱形であるQNPOを書いて、みるとわかりやすいはず？！
正三角形の面積は√3ですから、この四面体は真っ二つに切って、
正三角形を底面として、高さが1の四面体が二つ出来るので、
答えは、1/3×√3×1×2＝2/3√3です。
イメージさえ出来れば簡単な問題です。
54の(3)は兎に角、イメージしにくいね。
工作のこれが必要かも。
↑に進んでいく三角柱に
→方向に進んでいく三角柱はどれだけ入り込んでいるかを考えましょう。
入り込んでしまった分の体積を求めて減らさないといけません。
三角柱を分かりやすくするために、
立方体のブロックで積み上げたものに近似させて考えてみます。
そして、ブロックの高さを数字で表して、
平面に、高さをもった表を作ります。
333
222
111
であれば、タテ3マス ヨコ3マス
に上の段は高さが3つの立方体が並んでいる
真ん中の段は高さが2つの立方体
下の段は高さは1つの立方体のみという感じです。
頭の中では
5マス5マスの
立方体出来た三角柱類似のものは簡単に重ねることが
出来ませんが、
平面の表ならば簡単に重ねられます。
3段の立方体
🔳
🔳＋🔳
🔳 🔳
＝
🔳
🔳
🔳
で、重ねてしまえば、
🔳
🔳
は、吸収されてしまいます。
3＋2＝3ということなのです。
2はカウントされないので、足し合わせたら、引かないとダメということです。
すると、どちらも、足すと半分くらいは、カウントすべきではないと分かります。
図1
図2
実際の三角柱で考えると、
赤字部分が相手にはまり込んでカウントしない部分となります。
底辺3×3の直角二等辺三角形で高さが4の三角錐となることが
イメージ出来ましたでしょうか？
長男くんもこれで、
三角柱と三角柱が重なった時に、
相手側にはまり込んでいる図形が
底辺3×3の直角二等辺三角形で高さが4の三角錐
ということがイメージできました。
図1の右上の①〜④が書き込まれている図の説明です。
①は、半径3高さ4の円錐の1/4個があるところです。4個あります
②は三角形が3×4で、長さが3の三角柱が入るところです。8個あります
③直角2等辺3角形高さが4の三角柱2つが重なるところです。
④三角形が6×4で長さが4の三角柱が入るところです。4個
答え
①1/3×3×3×π×4×1/4×4＝12π
②3×4×1/2×3×8＝144
③24×4＝96
④6×4×1/2×4×4＝192
答え 432＋12π