１月１日＝元旦と勘違いしている方がいます。
元旦は１月１日の午前中を示していて
元旦のーが初日の出を表しています。
なぜ、１月１日を元旦と捉えている方がいるのは年賀状に元旦と書くからそう思い込んでしまったからになります。
年賀状が１月１日の午前中に届く事を前提にしているため、元旦と書くもしくは印刷する事が一種の刷り込み効果で発生します。
元旦の朝
元旦の昼
元旦の夕方
元旦の日没（日の入り）
元旦の夜
は言おうとしている事は分かりますが
明けましておめでとうございます
１月１日 元旦
と書くと重ね言葉になってしまいますから、気をつけないと下手したら恥の上塗りになりませんからなおさら気をつけないといけません。
１年の計は元旦にありは初日の出を見て、願いを祈るという意味合いにあたります。
１月１日は全体で言うと元日（がんじつ）になるのですが、午前中が元旦なので昼以降は元日と捉えるのが分かり易いかと思います。
新年早々から長文で説教じみていて、気分を害された方がいましたら申し訳ありません。