結晶格子(9回目 充填率)
半径rの球の体積Vは
V = 4πr3/3
単位格子中の原子数n
(この記事の結晶格子1～7回目の図形で数える)
原子半径r
単位格子の体積v
充填率p(%)とすると
p = 単位格子中の原子の体積/v × 100(%)
p = 100n(4πr3/3) / v
a:単位格子の辺長(h:単位格子の高さ)
面心立方格子n = 4, a = 2r√2
v = a3 = (2r√2)3 = 16r3√2
p = 100n(4πr3/3) / v
= 100･4(4πr3/3) / (16r3√2)
= 100π√2 / (3√2√2)
= (50π√2)/3
体心立方格子n = 2, a = (4r√3)/3
v = a3 = {(4r√3)/3}3 = 43r3√3/32
p = 100n(4πr3/3) / v
= 100･2(4πr3/3) / (43r3√3/3)
= 25π / (2√3)
= (25π√3)/2
六方最密構造n = 2, a = 2r, h = (4r√6)/3
(単位格子は六角柱の1/3)
v = a{(a/2)√3}h
= 2r(r√3){(4r√6)/3}
= 8r3(√3√2√3) / 3
= 8r3√2
p = 100n(4πr3/3) / v
= 100･2(4πr3/3) / (8r3√2)
= 100π√2 / (3√2√2)
= (50π√2)/3
NL-BASICとnl30522.zip(cris009.bas)は
以下のリンクからダウンロードできます
Readme.txtを読んで遊んで下さい
下記リストをマウスで選択しCtrl+cでコピーし、
NL-BASICの画面でAlt+v(Ctrl+vではないので注意)
でプログラムを読込めます。
cris009.bas
100 '----------------------------------------------------------------------
110 ' 結晶格子(9回目 充填率)
120 '
130 ' 2021.5 by ULproject for N88-BASIC, NL-BASIC
140 '----------------------------------------------------------------------
150 PI = ATN(1) * 4 '--- arctan(1) = π/4
160 R2 = SQR(2) '--- √2
170 R3 = SQR(3) '--- √3
180 PS = 50 * PI * R2 / 3 '--- 面心立方格子 (50π√2)/3
190 PV = 25 * PI * R3 / 2 '--- 体心立方格子 (25π√3)/2
200 PH = 50 * PI * R2 / 3 '--- 六方最密構造 (50π√2)/3
210 PRINT USING "面心立方格子の充填率 = ##.#### (%)"; PS
220 PRINT USING "体心立方格子の充填率 = ##.#### (%)"; PV
230 PRINT USING "六方最密構造の充填率 = ##.#### (%)"; PH
結晶格子(8回目 球の体積)
半径Rの球の体積Vを求める
図 z = rcosφ、d = rsinφ
点P(r, θ, φ)、原点O(0, 0, 0)とする
極座標は
動径(半径)方向をr
z軸回りのx軸方向からの角度をθ
z軸から線分OPまでの角度をφとする
直交座標P(x, y, z)との関係
点Pのx-y平面へ投影した点の原点からの
距離をdとするとd = rcosφより
x = dcosθ = rcosθsinφ
y = dsinθ = rsinθsinφ
P(x, y, z)
= P(rcosθsinφ, rsinθsinφ, rcosφ)
中心からr離れた微小片の体積dvを考えると
r方向の微小距離をdr
φ(ラジアン)方向の微小角dφ分の距離は
r･dφ(半径rの円弧長さ)
θ(ラジアン)方向の微小角dθ分の距離は
d･dθ = rsinφ･dθ(半径dの円弧長さ)となり
dv = r2sinφ･drdθdφ
V = ∫dv = ∫∫∫r2dsinφ･drdθdφ
(r = 0～R, θ=0～2π, φ=0～π)
= ∫∫[(r3/3)sinφ]dθdφ
= (R3/3)∫∫sinφ･dθdφ
= (R3/3)∫[θsinφ]dφ
= 2π(R3/3)∫sinφ･dφ
= 2π(R3/3)[-cosφ]
= 2π(R3/3){-(-1-1)}
= 4πR3/3
ちなみに
半径Rの円の面積Sは
中心から角θ方向に距離r離れた点Pと
中心から角θ+dθ方向に距離r+dr離れた点P'
の2点を対角線とする微小面積はrdθdrとなる
(角dθの半径rの円弧の長さはrdθ)
S = ∫∫rdθdr (θ=0～2π, r=0～R)
= ∫[rθ]dr = ∫2πrdr = 2π∫rdr
= 2π[r2/2] = π[r2] = πR2
ついでに、内接する円(球)と正方形(立方体)
に対する割合を表示しました
NL-BASICとnl30520.zip(cris008.bas)は
以下のリンクからダウンロードできます
Readme.txtを読んで遊んで下さい
下記リストをマウスで選択しCtrl+cでコピーし、
NL-BASICの画面でAlt+v(Ctrl+vではないので注意)
でプログラムを読込めます。
cris008.bas
100 '----------------------------------------------------------------------
110 ' 結晶格子(8回目 球の体積)
120 '
130 ' 2021.5 by ULproject for N88-BASIC, NL-BASIC
140 '----------------------------------------------------------------------
150 PI = ATN(1) * 4 '--- arctan(1) = π/4
160 INPUT "球の半径r = "; R
170 V = 4 * PI * R^3 / 3
180 PRINT "半径rの球の体積 = "; V
190 C = (2 * R)^3
200 P = V / C * 100
210 PRINT "内接する球の立方体に対する割合 = "; P; "(%)"
220 PRINT
230 S = PI * R^2
240 PRINT "半径rの円の面積 = "; S
250 B = (2 * R)^2
260 P = S / B * 100
270 PRINT "内接する円の正方形に対する割合 = "; P; "(%)"