前問の解答です。
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Aが変換行列Pによりジョルダン標準形Jに変換されるとします。
すなわち
① P´AP＝J （´は逆行列の意）
あるいは同じことですが、
② A＝PJP´
です。
②の両辺を２乗すると
③ A^２＝P・J＾２・P´
さらに条件式の
④ A＾２＝A
を用いると
P・J＾２・P´＝A＾２＝A＝PJP´
よって
⑤ J＾２＝J
ジョルダン標準形Jが⑤を満たすためには対角行列であることが必要で、しかもその対角要素ｔはいずれもｔ＾２＝ｔを満たします。
すなわちｔ＝０，１です。
よってJはE，O，D，E－Dのいずれかになります。
ここでFを１２，２１要素が１で他の要素は０となる行列とおくと
⑥ E－D＝F´DF
が成り立つので、②，⑥よりAはE，O，Dのいずれかに相似となります。
（逆にその場合に④が成り立つことは簡単な式変形により容易に確かめられます）
以上により、題意は示されました。
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同様に考えて、一般のｎ次行列でもべき等行列は０，１のみを要素にもつ対角行列と相似になります。
ジョルダン標準形を考えるとわかりやすいですね。