コーシー列のココロは、収束する先がわからない時には代わりにずーっと先の項を使って収束の定義を試みてみるということでした。
しかしその有効性はあくまで希望的観測の域を出ないので、確かめてみる必要があります。
数列
① a１，a２，a３，……
が収束することとコーシー列であることとの関係はどうなっているのか。
結論を言えば、実数列や複素数列などの場合には
①が収束する ⇔ ①はコーシー列である
が成り立ちます。このうち、
② 収束する ⇒ コーシー列である
の証明は簡単です。
たとえば①がｂに収束するとすると、任意の正数εに対してある自然数Nが存在し、N＜ｎを満たす任意の自然数ｎに対し｜aｎ－ｂ｜＜ε／２となります。（εの代わりにε／２に対してNを用意していることに注意してください）
すると、N＜ｎ，ｍならば
｜an－aｍ｜≦｜aｎ－ｂ｜＋｜aｍ－ｂ｜＜ε／２＋ε／２＝ε
となるので、コーシー列の条件が満たされます。これにより②が示されました。
③ コーシー列 ⇒ 収束する
の証明は多少の手間がかかります。
ここでは①が実数列である場合に、上限と下限を使った証明を考えてみましょう。
実数の（空でない）集合Sが与えられたとします。
ここで、次の３つの場合が考えられます。
（ⅰ） Sに最大値Mが存在する場合
（ⅱ） Sの中にいくらでも大きな数が存在する場合
（ⅲ） 上限はあるけれど、最大値が存在しない場合
（ⅰ）の場合、Sの上限 （sup S）はMとなります。
（ⅱ）の場合はsup S＝∞です。
（ⅲ）の場合、「Sのどの要素もD未満であり、しかもDにいくらでも近い数がSの中に存在する」ような実数Dが存在します。このDがsup Sとなります。
下限（inf S）についても同様です。
さて、①のｎ項目以降を集めた集合
｛aｎ，an+1，an+2，……}
をSnと置きます。
コーシー列の定義においてε＝１に対するNをとると、aN以降の項amは
④ aN－１＜am＜aN＋１
を満たすので、sup Sn ≠ ∞ です。また、ｎが増加するにつれてsup Snは減少（より正確には非増加）します。
しかも④より aN－１＜ sup Sn です。
下限のある減少数列は収束するので、ｐｎ＝sup Snと置くと、数列{ｐｎ}は極限値ｐを持ちます。
同様に、ｑｎ＝inf Sn と置くと、ｑｎ≠－∞であり、数列{ｑｎ}は極限値ｑを持ちます。
ここで、仮にｐ≠ｑであったとして矛盾を導きます。
この場合、ｑ＜ｐとなりますが、（ｐ－ｑ）／２より小さい正数εを任意にとったとき、ｐ－ε＜aｎとなるような項anが無限に存在します。（∵ 各ｍに対しｐ≦ｐｍなので、ｍ項目以降に必ずｐ－ε＜anとなるようなanが存在します）
同様に、ｑ＋ε＞amとなるような項amも無限に存在します。
すると、コーシー列の条件においてε´＝ｐ－ｑ－２εに対するNをとることができなくなって矛盾します。
よって背理法によりｐ＝ｑとなります。
ここで、任意の正数εに対し、ｐN－ｐ＜ε，ｑ－ｑN＜εとなるようなNをとることができます。
するとN項目以降のどの項anもｐNとｑNの間にあるので、ｐ＝ｑとの誤差はε未満となります。
よって①は極限値ｐ（＝ｑ）に収束することが示されました。
以上により、実数列①に対して
⑤ 収束する ⇔ コーシー列である
ことが確かめられました。
それでは９０年代にヒットした Ace of Base のこの曲を。
https://www.youtube.com/watch?v=30n5EL38Lbs （The Sign / Ace of Base）