“ベクトル”と聞くと「高校の数学以来やったことがない」という方が多いかもしれません。
でも“配列”という表現なら、Excelとの関わりがイメージしやすいかもしれません。
「Excel 配列数式」記事で触れたように、「配列」とは、複数のセルの集まりです。
そして「配列数式」は、「配列」に対して 1つの数式を作成する式です。
新しいバージョンの Excelではそれをさらに拡張した「動的配列数式（スピル）」機能も備え、配列に対する演算、配列を戻り値とする関数などを拡大させています。
スピルについては「Excel スピル(1)」、「Excel スピル(2)」などでもご紹介しています。
通常“ベクトル”は一列に並んだ複数の値からなり、例えば A=[4, 3]という 2次元ベクトルは x-y平面上で描けば下図のように表せます。
3次元以上になると図示が難しくなりますが、特に次元の制限はありません。
この緑色で図示したベクトルに B=[-2, 2]ベクトルを足してみましょう。
ベクトルB そのものは原点から左上に向かう矢印で表現できますが、A＋B という加算をすることは、それぞれの要素毎に足し算をすることになります。
それを図示すると、ベクトルA の終点を ベクトルB の始点として描画する形となり、A＋B は原点からベクトルB の終点に向かう矢印で表せます。（下図）
つまり、ベクトルA＋B＝[4＋(-2), 3＋2]＝[2, 5] になります。
それでは、Excelでのベクトル演算をいくつか見てみましょう。
下図のように、ベクトルA＝[1, 2, 3]、B＝[4, 5, 6] としたとき、A＋B、A－B、B－A はそれぞれ計算されます。
この図では、例えば B5セルには「=B1+D1」、B6セルには「=B2+D2」というように、ベクトルA、Bの要素ごとに加算・減算をしたものです。
上記の「配列数式」を使う場合は、B5～B7セルを選択し、「=B1:B3+D1:D3」と入力後 [Ctrl]＋[Shift]＋[Enter]キーを押します。
数式バーには「{=B1:B3+D1:D3}」というように { } で囲まれた形式で表示されています。
次に、ベクトルの掛け算です。
ベクトルの内積と外積 (ベクトル積) があります。
ベクトルA と B の内積は
A・B＝a1×b1＋a2×b2＋a3×b3
で定義され、
ベクトルA と B の外積は
A×B＝[a2×b3－a3×b2, a3×b1－a1×b3, a1×b2－a2×b1]
で定義されています。
したがって、これらを同様に求めてみると、下図のようになります。
ベクトルの内積は、各要素を掛け、それらを足し合わせたものですので、SUMPRODUCT関数が使えます。
B10セルに「=SUMPRODUCT(B1:B3,D1:D3)」と入力すればよろしいです。
ベクトルAの大きさは、各要素の二乗の和の平方根で求められます。
|A|＝√(a1×a1＋a2×a2＋a3×a3)
平方根は SQRT関数で求まりますので「=SQRT(B1*B1+B2*B2+B3*B3)」とします。
また、二乗の和を求める SUMSQ関数を使えば「=SQRT(SUMSQ(B1:B3))」となります。
ちなみに、このベクトルの大きさを「ノルム」とも言います。
最後に、2つのベクトルのなす角を求めてみましょう。
ベクトルA とベクトルB のなす角とは、下図のように 2つのベクトルの始点を一致させたときの 2つのベクトルの間の角度θで表せます。
ベクトルの内積とベクトルの大きさとの関係式：
A・B＝|A|×|B| cosθ
から
cosθ＝A・B／(|A|×|B|)
となります。
ベクトルの内積と大きさは上述した方法で求まりますので、cosθも求められます。
なお、角度θを求めるには ACOS関数を使います。
この他にもベクトルに関する演算はありますが、ここでは省略します。
上記のような基本的な計算式を Excelシート上に作っておくと、その要素値を入力するだけでベクトルもイメージしやすくなります。