割と面白い問題なので、いろんな方法で証明されているのがネットで上がっています。塾講師というのは相手を見て判断し納得をさせるのが仕事です。決して学者ではありません。学者というのは未知の領域を研究するわけであって分かりやすく説明するのが仕事ではありません。
日本が生んだ世界的数学者の岡潔先生は次のように言っています。 どんな数学者も絶対に解けない問題がある。 それはすでに答えが分かっている問題である。 数学者が数学の問題を解くというのは 誰も解いてない問題を解くわけである。 だから答えがわかっている問題を解くのは数学ではないとおっしゃっています。
大谷大学の教授で、湯川秀樹博士に習ったことがあるという先生がいらっしゃいました。とにかく何を言ってるのかさっぱり分からなかったそうです。
私がわからなかったんじゃありませんよ。京都大学の大学院を出て博士号をもって、難関国立大学の教授をされてた上に定年退職して大谷大学に再就職されている教授がおっしゃってるんです。
さてタイトルについてこういう説明を中学生向けに考えるとみんな納得します。
何も等比数列を持ち出す必要はありません。右の辺を S とおいて10倍して差をとる必要もありません。