割り切れる分数については ０．１＝１／１０ とか０．１２５＝１／８とか、すぐにわかりますので。
割り切れない分数（無限小数）を考えてみましょう。
特に無限小数のうち循環小数とそうでない小数の違いは中学生にはわかりにくいようです。
覚えさせるから忘れるので理解させれば忘れないのです。
覚えなければ忘れません。
例えば1÷７を実際に計算してみましょう。
同じ数で割ることになったら、後は同じ計算ですから、繰り返しを持ちますね。
では、必ず繰り返しを持つのでしょうか？
計算の図で赤丸を付けたところに注意しましょう。
赤丸の中に入る数は（割り切れない場合の）余りは、１．２．３．４．５．６ の６つですね。
一方で、赤丸の数はいくつありますか？７つですね、
ということは、必ず同じものが出てくるはずです。
（＊）別に難しい話ではありません。5種類のゲームを毎日1つづつすれば6日目までには、必ず、同じゲームを繰り返すことになります。説明（証明に非ず）は「鳩ノ巣原理」
７でなくても、他の数で割っても同じことですね。
（割り切れない）分数を計算すると、必ず繰り返しを持つことが分かりました。
ということは、
繰り返しを持たない場合は分数にはなりませんね（対偶命題）。
よって，人類が宇宙を記述する際に、思い込みだけでは、無矛盾にできないので困りました。
もともと、人類は矛盾の塊だということを前提に行動すれば良かったのですが、学者には、そこまでの覚悟がなかったのです。
そこで分数（比）にならないということでｒａｔｉｏ（比）の前に打消しのｉｒを付けてｉｒｒａｔｉｏｎａｌ ｎｕｍｂｅｒ ということにしました。
日本語でも、割り切れないという言葉には不合理だ、納得できないという意味がありますので、無理数と訳してしまったのです。
決して無理な数ではありません。