例によって、中学生で解ける東京大学の入試問題である。
中線定理（パップスの中線定理）というのは、一度は習ったことはあるけれども、何のために使うのかということがよく知られていない、変わった定理だと思います。
この定理にはいろいろな使い方がありますが、ここでは、東京大学で過去に２度出題された使い方を示します。
（東京大学昭和５４（１９７９）年入試より）
ＯＱ²＋ＯＲ²の最大・最少を求める場合に、ちょうどＰを中心に正三角形ＰＱＲが、円の内部をぶらぶらしているようなイメージをしましょう。
ＯＱ²＋ＯＲ²のところに、パップスの定理を１度使うだけで十分なのです。
なぜならば、ＱＭ²というのは固定した量でありますから、要はＯＭの最大値と最小値を求めればよいことになります。
つまり、
ＯとＭが最も近づいたとき＝重なった時が最小値、
ＯとＭが最も離れたとき＝ＱまたはＲが周上にある場合が最大値
となりますので、中学生の範囲内で解けることになります。
注：上記の図はわかりやすく説明するために、多少三角形の大きさを誇張して大きめに書いてあります。
直線ℓ上に任意の点Ｒを取って、ＰＲ²＋ＰＱ²が最小になるのはどこか。
これは、過去に東京大学で出題されたこともありますし、また、ラ・サール高校で出題されたこともあります。
これも、下のように、パップスの定理を使えば、ＭＰが最小になるときですから、Ｍからℓにおろした垂線の脚をＲとすればよいとわかります。
パップスの中線定理は逆が成り立ちませんのでご注意ください 。