岡山県の県立入試（正確には検査という）でこのような問題が出ています。
この問題は多くの問題集で難問とされているようです。
問題はＣＦの長さです。
いろいろ苦労して解いている問題集ばかりですが、
（１）ＣＦの二乗＝ＣＢ×ＣＤ－ＢＦ×ＦＤを使う。
（２）三角形ＡＢＤにＳＴＥＷＡＲＴの定理を使う
などといったことも考えられますが、そんなをことをしないでも
ＡＦ：ＦＣ＝三角形ＡＢＤ：三角形ＢＣＤ＝ＡＢ×ＡＤ：ＢＣ×ＣＤ
で十分でしょう。
尚、少し考えればこれは直角三角形でもなくても、円に内接する四辺形ならば、一般に成り立ちますね！