数学的帰納法とは
n=kのときに成り立つと仮定すると
n=ｋ＋１で成り立つことを証明するもの
ではない。
東京大学ではn=k かつ n=k+1 で成り立つと仮定すれば n＝ｋ＋２
で成り立つことを示すものが数回出題されている。
京都大学（１９９４理系前期）ではn=1かつ２かつ３かつ４かつ５かつ６かつ７で成り立つことを示したうえで、n=k⇒n=k+8
を示すものも出題されている。
フィボナッチ数列のように有限定義の漸化式で定義された数列を考える。
自然数は加法について閉じているからここでは項は全て自然数となる。
（有限定義の漸化式というのは私が勝手に作った言葉である。「円周率のn番目を第n項とする」というようなものではないとの意味である。）
これらの項をある自然数で割った余りは必ず繰り返しを持つことになる。
（証明は鳩ノ巣原理）
フィボナッチ数列を３で割った余りは
１ ２ ０ ２ ２ １ ０ １
を永遠に繰り返すことになるから、これらを累積した数列も増え方に繰り返しという規則性を持つ。
さて、（３）を数学的帰納法を使わないで説明してみよう。
(説明の例）
フイボ君は１を出発点に、１ ２ ０ ２ ２ １ ０ １ と増えていきます。
左辺君は１を出発点に１づつ、増えていきます。
この増え方の様子を棒グラフにかいていきましょう。
左辺君はフィボ君を、どこまでいっても追い越せませんね！