東京大学２００９年４番について（４）

ここで説明した正射影をつかう手法を色々、応用してみると、興味深い。

問題：立方体を底面の対角線について回転した立体の体積は？

下の立体を考えてください。

形は次のようになる。曲面部分は回転一葉双曲面である。この立体を外側と内側に分ける。

外側は正方形ＡＢＣＤが回転してできたものであるから、以前説明したように底面の正方形ＥＦＧＨが回転したものに体積が等しい。これは円すいが２つ分である。内側は長方形ＡＥＧＣが回転してできる円柱であるから合計しておわり。

＊なお、当たり前の事であるがＵＢＱで何週間もかけて基本の積分や回転体の考えを説明した上で、この問題だけでも、１時間以上説明している事をブログで説明するのにはどうしても無理がある。実際のＵＢＱの講義をここで忠実に再現する事は不可能であることを理解したうえでご覧になってください。また基本の積分計算による求積ができるものとしての、説明である。