今年の東京大学の問題は難問ぞろいであった。合否を分けた理系４番だ。今年のUBQの東大合格者が声を揃えて
UBQにきてたので４番は２０秒で解けたという
本当である。(1)は半径が１の球の体積の半分に等しいから１５秒。
(2)は円盤の回転は回転半径に無関係だから極限をとれば(1)と同じで５秒。
このテーマでのテキストをUBQでは作っているほどだ。今年の問題とほぼ同じ問題をUBQで指導していたのは偶然ではない。実は東京大学の８４年入試に三角形の回転する通過部分の体積の問題が出題されている。円盤の回転は千葉大学８７年で出ている。今年の問題は８４年の問題の三角形が円盤になって半分回転しただけだ。
次の事実は指導している。
１、円盤に限らず板の回転は回転軸を含み板に正対する面への正射影を回転したものに体積は等しい。
２、従って回転半径に無関係に体積は一定である。
さらに、心構えとして
東京大学は意味のない極限を求めさせない。極限の意味を考えれば計算はいらない
というのも東京大学受験の鉄則だ。
なお、上記の解法に対するお問い合わせはご遠慮してほしい。上記の解法はUBQではあくまでも基本の積分による解法を理解させた上で説明している。基本を飛ばして応用を覚えるのは危険だからである。