今日は、 土浦日本大学中等教育学校のISAT入試で出題された「規則性に関する問題」を紹介します。
親子で挑戦してみてください！
はるとさんは、立方体のブロックを、ある規則に従い下のように積み上げました。
＜積み上げたブロックを真横から見たとき＞
＜積み上げたブロックを真上から見たとき＞
はると：よし。できた。
ひかり：たくさん積み上げたみたいだね。
はると：うん。今回は５段まで積み上げたんだ。
ひかり：すごい！何個のブロックを使ったの？
はると：全部で、「 ア 」個使ったよ。
ひかり：まだ、たくさんブロックが余ってるわね。このブロック、色が黒と白の２種類あるみたいだね。
はると：そうなんだ。上から１段目を黒のブロック、２段目を白のブロックと交互に重ねていくと、ちょうど８段まで積み上げることができるんだ。
ひかり：８段になるのね。そうすると黒は「 イ 」個で、白は「 ウ 」個かしら？
はると：すごい！ひかりさん正解だ。どのようにして考えたのか教えてよ。
■問題１
会話文中「 ア 」にあてはまる数を書きなさい。
■問題２
会話文中の「 イ 」、「 ウ 」にあてはまる数を書きなさい。また、あなたがひかりさんなら、はるとさんにどのように数の求め方を説明しますか。
図や表、数、式、言葉などを使って説明しなさい。
土浦日本大学中等教育学校(2019年)
□解答・解説
■問題１
問題の＜積み上げたブロックを真上から見たとき＞の図より、
上から１段目にある立方体の数は１個
上から２段目にある立方体の数は１＋３＋１＝５個
上から３段目にある立方体の数は１＋３＋５＋３＋１＝13個
となっています。
ここで、１＋３＋５のような１から始まる奇数の合計は、１＋３＋５＝３×３のように、(奇数)×(奇数)で求めることができます。
また、下の図のように、図形を変形して説明することもできます。
このことを利用すると、上から３段目にある立方体の個数は、(１＋３＋５)＋(３＋１)と分けると、３×３＋２×２となり、「(段の数)×(段の数)＋(段の数－１)×(段の数－１)」と考えることができます。
これより、段数と合計の個数を表に整理すると、次のようになります。
よって、５段まで積み上げたときの立方体の個数は、１＋５＋13＋25＋41＝85(個)となります。
85 ……（アの答え）
■問題２
問題１の表を８段までかくと、次のようになります。
このうち、黒のブロックは上から１、３、５、７段目にあるので、全部で１＋13＋41＋85＝140(個)、
白のブロックは上から２、４、６、８段目にあるので、全部で５＋25＋61＋113＝204(個)
となります。
140 ……（イの答え）
204 ……（ウの答え）
求め方は、以上をまとめて次のようになります。
上から１段目、２段目、３段目、…の順に数えるとき、それぞれの段にある立方体の個数は、
「(段の数)×(段の数)＋(段の数－１)×(段の数－１)」と考えることができる。
８段までを表にすると、次のようになる。
このうち、黒のブロックは上から１、３、５、７段目にあるので、全部で１＋13＋41＋85＝140個、
白のブロックは上から２、４、６、８段目にあるので、全部で５＋25＋61＋113＝204個となる。
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