今日は、2015年に女子御三家の１つである桜蔭中学校で出題された図形の規則性の問題を紹介します。
親子で挑戦してみてください！
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いろいろな大きさの正三角形を,次のように置いていきます。
はじめに,図１のように１辺の長さが１cmの正三角形３枚①②③と１辺の長さが２cmの正三角形２枚④⑤を置きます。
図１
次からは,できた図形の最も長い辺を１辺とする正三角形をもとの図形のとなりに,図２のようにうずまき状に置いていきます。
図２
このとき,⑰の正三角形を置いたときできる図形の周の長さは何cmですか。
(2015年 桜蔭中学校)
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■解答・解説
このような問題は,規則性を見つけて、表を書いて考えることがポイントです。
たとえば,図３で,正三角形⑨の１辺の長さ(赤線部分)は,その１つ前に置いた正三角形⑧の１辺の長さと,５つ前に置いた正三角形④の１辺の長さの和になっています。
図３
たとえば,図４で,正三角形⑧の１辺の長さ(赤線部分)は,その１つ前に置いた正三角形⑦の１辺の長さと,５つ前に置いた,正三角形②の１辺の長さの和になっています。
図４
このことより,表を書くと,⑰の正三角形の１辺の長さは,65cmとわかります。
できる図形の周の長さは,最後においた正三角形の１辺の長さ２つ分と,１つ前から４つ前までに置いた正三角形の１辺の長さの合計になります。(図５参照)
最後に置いた正三角形の番号を●とすると,
周の長さ＝
正三角形●の１辺の長さ×２(赤線)
＋正三角形(●－１)の１辺の長さ(緑線)
＋正三角形(●－２)の１辺の長さ(橙線)
＋正三角形(●－３)の１辺の長さ(水色線)
＋正三角形(●－４)の１辺の長さ(紫線)
図５
よって,⑰の正三角形を置いたときの周の長さは,
65×２＋49＋37＋38＋21＝265(cm) ……(答え)
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