今日は、2014年の渋谷教育学園幕張中学校で出題された約束記号・整数の性質に関する問題を紹介します。
親子で挑戦してみてください！
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Aを０ではない整数とします。
A＝a×a＋b×b
となる０ではない整数 aと b の組(a,b)の個数を[A]と表すことにします。
例えば,A＝37のとき,a×a＋b×b＝37 となる a と b の組(a, b)は,
a＝１,b＝６となる場合と,
a＝６,b＝１となる場合の２組あるので
[37]＝２
となります。
また,A＝８のとき, a×a＋b×b＝８となる a と b の組(a, b)は,a＝2,b＝２となる場合の１組だけなので
[８]＝１
となります。
また,A＝３のとき,a×a＋b×b＝３となる a と b の組(a, b)はないので
[３]＝０
となります。
このとき,次の各問いに答えなさい。
(１) [65]はいくつですか。
(２) [A]＝２となる整数Aのうち,30以下の奇数であるものをすべて求めなさい。
(2016年 渋谷教育学園幕張中学校)
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■解答・解説
(１)
a×a は,平方数のことで,
65＝a×a＋b×b となるとき,65以下の平方数は,
１×１＝１,
２×２＝４,
３×３＝９,
４×４＝16,
５×５＝25,
６×６＝36,
７×７＝49,
８×８＝64
の８つで,このうち和が65になる組み合わせは,１と64,16と49です。
よって,
このとき,(a, b)の組は,(１,８),(８,１),(４,７),(７,４)の４組なので,
[65]＝４ ……(答え)
(２)
Aは奇数なので,２つの数の和が奇数となるということは,
１つが奇数で,もう１つが偶数になります。
そこで,奇数の平方数(１,９,25,……)と偶数の平方数(４,16,…)のうち,和が30以下になるものを調べると,
１＋４＝５,
１＋16＝17,
９＋４＝13,
９＋16＝25,
25＋４＝29
の４つになることがわかります。
よって,
[A]＝２となる30以下の奇数Aは,
５,13,17,25,29 ……(答え)
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