今日は、2014年の早稲田中学校で出題された体積問題を紹介します。
空間把握力を要する立体問題は、多くのお子様が苦手としています。
親子で挑戦してみてください！
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図１のような底面が直角二等辺三角形である三角柱が２つあります。
この２つの三角柱が図２のように垂直に交わっています。図２の立体の体積は何cm3ですか。
図１
図２
(2014年 早稲田中学校)
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■解答・解説
まずは,三角柱の底面積を求めます。
底面は直角二等辺三角形で,図３のように,角ACBが90度となる三角形ABCを考えると,角ABCは45度より,角BACも180－(90＋45)＝45(度)になるので,三角形ABCも直角二等辺三角形となります。
図３
よって,図４,BCの長さは６÷２＝３(cm)なので,BC＝ACより,
ACの長さも,３cmになります。
図４
これより,三角柱の底面積は,
６×３÷２＝９(cm2)←「三角形の面積＝底辺×高さ÷２」
三角柱１つの体積は,
９×30＝270(cm3) ……①←「柱体の体積＝底面積×高さ」
となります。
ここで,２つの三角柱が重なる部分を考えると,図５のように,底面が１辺６cmの正方形で,高さが３cmの四角すいとなることがわかります。
※これがわかることが最大のポイントです！
図５
この四角すいの体積は,
６×６×３×(１/３)＝36(cm3) ……②←「すい体の体積＝底面積×高さ×(１/３)」
ここで,２つの図形が重なっているときの面積の求め方について解説すると,次のように計算します。
集合のベン図を使って解く問題でも,よくこの計算が出てきます。
体積も同様に考えることができるので,
２つの三角柱の体積は,図６のように計算できます。
図６
よって,①,②より
270×２－36＝504(cm3) ……(答え)
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