合同式の締めくくりとして，フェルマーの小定理について紹介します．
まずは入試問題から．日本女子大・理学部の問題です．
問題
nが2以上の自然数であるとき，
n~7-nが７で割り切れることを，数学的帰納法を用いて証明せよ．
「数学的帰納法を用いて」，とあるのが親切ですね．
それに基づいて証明すると，こうなるのでしょうか．
解答
n=２のとき， 2~7-2=128-2=126=7×18 より
7で割り切れる
n=kのとき，k~7-kが7で割り切れると仮定すると，
(k+1)~7-(k+1)
=k~7+7C1K~6+7C2K~5+7C3K~4+7C4K~3+7C5K~2+7C6k+1-(k+1)
となります．ところで，7C1=7C6=7，7C2=7C5=21，7C3=7C4=35
(Cはコンビネーションです．見づらくてごめんなさい)
よって，
(k+1)~7-(k+1)
=k~7-k+7(K~6+3k~5+5K~4+5k~3+3k~2+k)となるが，
仮定よりK~7-Kが7で割り切れるので，
(k+1)~7-(k+1)も7で割り切れる．
という手順です．
数学的帰納法については，ある人が「ドミノ倒し」のようなもの
と表現していました．いいえて妙ですね．
さて，本題です．この日本女子大の問題は，
「フェルマーの小定理」と呼ばれる，議論を背景にしています．
フェルマーの小定理とは，合同式を使ってあらわすと
ｐが素数であるとき，
n~p≡n [mod p] である，という定理です．
有名なフェルマーの最終定理
「x~n+y~n=z~nをみたす3以上の自然数は存在しない」とは
違って，フェルマーが証明しています．
(余談ですが，私が中学生のころは最終定理がまだ証明されて
おらず，ためしに代入してうまくいく数がないものか探したものでした)
もとい，訂正です．
フェルマーの小定理は，最終定理と異なり，
「フェルマーがその証明を書き残している」が正しい表現ですね．
※フェルマーについてのエピソードは，改めてふれます．
さて n~p≡n [mod p]の証明ですが，まずはこんなことを考えます．
上の議論では二項定理を使いました．以下でもこれを用いるため，
(二項定理にも面白い話題がありますので，別の機会に紹介します)
nが素数のとき，nCkがnで割り切れることを確認しておきましょう．
nCk=n!/k!(n-k)!と表現できますが，
kも(n-k)も，nよりも小さい自然数です．
n!には素因数として必ずnが含まれていますが，k!にも(n-k)!にも
nは含まれていません．(なぜならば，nは素数であるため，nより
小さい数をどのように掛け合わせても，nにはならないからです)．
よって，nが素数ならば，nCkはnで割り切れます．
これを用いると
nが素数であれば，
(a+b)~n≡a~n+b~n [mod n] が成り立ちます．
(いろいろ試してみてください)
これを利用すれば，pが素数のとき，
(1+1)~p≡1~p+1~p [mod p] ∴ 2~p≡2 [mod p]
(2+1)~p≡2~p+1~p [mod p] 3~p≡3 [mod p]
…
と数学的帰納法を用いれば，どんな場合でも証明できます．
もしもそれがまどろっこしい，と感じれば，
多項定理を利用して，
(1+1+1+…+1)~p≡1~p+1~p+…＋1~p [mod p]
とすればよいでしょう．
ちなみに多項定理とは
(a+b+c)~nにおいてa~p×b~q×c~rの係数が，
n!/p!q!r! である，という定理です．
(二項定理を使えば容易に導けます)
先ほどと同じ議論で，nが総数のとき，
n!/p!q!r!がnの倍数であることを確認しましょう．
(p+q+r=nですので，p,q,rはnより小さい自然数です)
これで，フェルマーの小定理が導かれました．
その1で紹介したピタゴラス数の議論においても，
これが利用されています．そのことを示すために，
これまで触れてこなかった合同式の割り算を確認しましょう．
合同式では
３×２≡６ [mod 5]が成り立ちますので，
６÷３≡２ [mod 5]が成り立ちます．
ところが，
３×４≡１２ [mod 4] ですが，
12÷４≡３ [mod 4] とはなりません．
理由を考えてみると，４≡０ [mod 4]ですので，
上記の割り算は「０で割る」という，
割り算の禁止事項が含まれているからです．
ただし，それ以外にも
５×３≡１５ [mod 12] のとき，
15÷３≡５ [mod 12] とするのは，いささか注意が必要です．
なぜなら，１５≡２７≡３９≡３ [mod 12] ですので，
15÷３≡27÷3≡39÷3≡３÷３ [mod 12]
が成り立つ必要がありますが，
上記の式は，単純な割り算の結果が
５，９，１３，１となるからです．
このように，合同式では割り算をするためには
細心の注意が必要です，
結論を先に言うと，合同式では
「法とする数と互いに素な数でなら割っても良い」となります．
フェルマーの小定理では法は素数でしたので，
n~p≡n [mod p] はpの倍数でないnについて，
n~p-1≡1 [mod p] となります．
(pの倍数であるnについては，n~p≡0が明らかです)．
この式の形のほうが，今後使い勝手が良くなります．
ピタゴラス数の問題では，
n~2≡１ [mod3] を利用しました．
(n~2≡２ が矛盾する，という形です)
同じような議論の使える問題として，例えば，
問題
nが２以上の自然数であるとき，nとn~2+2がともに素数であるのは
n=３のときのみであることを証明せよ．
という京都大学の問題があります．
n=3のとき，n~2+2＝3~2+2=11より，ともに素数です．
ところが，n=3でないときは，
nが素数であるためには，３で割り切れてはいけない，つまり，
「nは３の倍数ではない」ということが必要条件になります．
そのとき， n~2≡１ [mod 3] であることは既に示しました．
すると，n~2+2≡１+2≡0 となるので，
n~2+2は必ず３の倍数となってしまうのです．
よって，nが素数のとき，n~2+2が必ず素数ではなくなり，
「ともに素数」であることができなくなります．
(例外が，3の倍数なのに素数であるn=3のとき，です)．
京都大学はフェルマーの小定理をたびたび出題しているようです．
ここで一息入れたいと思います．
フェルマーに関するエピソードとしては
フェルマーの最終定理を扱った本として
- フェルマーの最終定理 (新潮文庫)/サイモン シン
- ￥820
- Amazon.co.jp
がお勧めです．文庫にもなっていますので
手に取りやすいと思いますが，何より内容と訳が抜群に良い！
という本です．出版当時かなり話題になったようですが，
私は最近，本屋で見つけて読みました．
フェルマーは，本の余白に自分の見解を記していたらしく，
最終定理については「驚くべき証明を考えたが，余白が足りない」
といって書き残さなかったそうです．
これをネタに，よく学生たちに，
「もしも君たちが，数学の答案の記述部分について
何を書いてよいのか分からなくなったら，
『フェルマーの顰に倣って言うならば，
驚くべき解答を考えたが，余白が足りない』
とでも書いて，答えだけ書いてしまえばいいんだよ」
という冗談を言います．
しゃれの分かる先生なら，何らかのコメントを返して
くれるかもしれませんね．