eの無理性の証明

THEOREM 48. e^y is irrational for every rational y≠0.

 If y＝h/k and e^y is rational, so is e^ky＝e^h , Again, if e^-h is rational, so is e^h. Hence it is enough to prove that, if h is a positive integer, e^h cannot be rational. Suppose this false, so that e^h＝a/b where a,b are positive integers. We write

so that F(0) and F(1) are integers. We have

Hence

an integer, But, by ^†(4.7.1)

for large enough n, a contradiction.　□

出典:G.H.Hardy and E.M.Wright.  An Introduction to the Theory of Numbers  P54. THEOREM 48.

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訳と補足:

　f(x)や^†式(4.7.1)、補題については、前回のπの無理性の証明で用いたものと同じであるため、本稿では省略する。

定理48. y≠0が有理数であれば、e^y は無理数である。

　y＝h/kとe^yが有理数とすると、e^ky＝e^hである。e^-hが有理数とすると、e^hも有理数である。これより、hを正の整数として、e^hが有理数であり得なければ、証明として十分である。e^h＝a/bとし、a,bが正の整数であると、誤った仮定をする。ここで、

とする。F(0)とF(1)は整数である。これにより、

を得る。これより、

となる。これは整数である。しかし、式(4.7.1)と前回の補題より、nが十分大きい場合は

となり矛盾する。　□

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　引用元のTheory of Numbersでは、前回のπの無理性の証明よりも、今回の内容の方が先に記されていたため、今回の方が背理法についての詳しい記載がある。どちらの証明も結果も、意義のあるものであるため、初めにこの2つについて触れておきたかった。

　今回の内容については、前回と同じ関数を用いて同じ方法で示しているため、前回からの引用という形で、ほとんど訳しただけである。また、最後の式が1未満であることが、前回の補題の結果から理解できることも同じである。

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