THEOREM 49. π and π2 are irrational.
Suppose π2 rational, so that π2 = a/b, where a,b are positive integers. We write
so that G(0) and G(1) are integers. We have
Hence
an integer. But, by †(4.7.1),
for large enough n, a contradiction. □
出典:G.H.Hardy and E.M.Wright. An Introduction to the Theory of Numbers P54. THEOREM 49.
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訳と補足:
まず初めに補足として、f(x)や式(4.7.1)について記すと、原典P53より
nを正の整数として、f(x)を
とする。ここでcmは整数である。0＜x＜1の範囲では†
と書ける。これを踏まえた上で、次の補題を証明する。
補題:次の(*)がn→∞の極限において、0に集束する。
ε-N論法より
を満たすNを考える。まず定義より
である。また
であるから、|a|より大きい自然数mをとると、nがmより大きいとき
と書ける。これより式(1)は
となる。ここで、特定のmについて考えると
であるから、任意の正実数εに対して、Nより大きい任意の自然数nについて
が成り立つものが存在する。よって、このようなnのうちmより大きいものには
が成り立つ。よって(*)は0に集束する。 □
これにより本題を示す。
定理49. πとπ2 は無理数である。
π2を有理数とし、π2＝a/bとおく。このとき、a,bは正の整数とする。ここで
とすると、G(0)とG(1)は整数である。よって
を得る。
これより
これは整数である。しかし、式(4.7.1)と(*)より、nが十分大きい場合は
となり矛盾する。 □
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円周率πが無理数であることを示した。この証明の本筋は背理法であるため、初めにπが有理数であると仮定して、それが矛盾すると示したことで証明している。本筋としては非常にシンプルで、計算自体も簡単に求められるものである。また、三角関数を用いているところなど、πの証明としては直観的に理解しやすい。
原典にはなかったが、自明ではないと判断して、補題としてε-N論法からanが0に集束することを示した。これは初等的には、はさみうちの原理から証明することもできる。
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