１から１００までの整数を書いたカードがあります。Ａさんが２の倍数をすべてとりました。その残りからＢさんが３の倍数をすべてとり、さらにＣさんがその残りから５の倍数をすべてとりました。残っているカードからＤさんが７の倍数をすべてとると、Ｄさんは何枚のカードを取ることができますか。
解説
３種類であれば代表的なベン図があります。３つの円が少しずれている図を四角形の中に書いて、割り算によって求まった商を書き込んでいきます。この方法は４つの場合はどのように書くのでしょうか。実は書くことができません。ではどのようにしてこの問題を解けばよいのでしょうか。ベン図を書かずに別の解法で解くのです。
解法
Ｄさんは７の倍数を取るわけですから、７の倍数を１つ１つチェックしていきます。７の倍数の中で２，３，５の倍数を除いていけばよいのです。Ｄさんが取るのは
７×１，７×７，７×１１，７×１３
の４枚です。
答え ４枚
では１から１０００００までの数で同じ条件の問題が与えられたらどうするのでしょうか。まさか７×１からすべて書いていくわけにはいきません。こういう時は規則性を利用します。２と３と５と７の最小公倍数は２１０です。２１０までは書いていかなければなりません。
２１０÷７＝３０
ですから７に掛ける数だけを列挙しますと
１，７，１１，１３，１７，１９，２３，２９
です。次に２１０までの８個の繰り返しが何回あっていくつ余るのかを考えます。
１０００００÷２１０＝４７６・・・４０
ここで余りの４０の中には７×１しか含まれていません。次の７×７は含まれませんから。したがって
８×４７６＋１＝３８０９枚
ということになります。
どうしてもベン図を書いていこうとする中学受験生には４つ以上についてはこのような方法が使えますよということを伝えておくと、次からは間違えないように解いていってもらっています。
よろしくお願いします。
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