正五角形１２個と正六角形２０個を縫い合わせたサッカーボールがある。頂点の数と辺の数との和はいくつですか。
（灘改題）
解説
この問題を解くにはサッカーボールをイメージしていたのでは解けない。今サッカーボールをイメージして辺や頂点の数が数えられますか？これは次のことが根本的な解法になるのです。すなわちまずは正２０面体を考えてください。それは1つの面が正三角形で、それが５個１つの頂点に集まっています。まず１つの頂点を上に取ると、てっぺんに集まる５つの正三角形があります。その次に周りに正三角形が上向き、下向き交互に５×２個あります。そして下向きに５個あります。この正２０面体がイメージできない人にこの問題は解けません。正二十面体は１つの頂点に５この正三角形が集まっていますから、そこを切断すると断面は正五角形になります。これがサッカーボールでは黒い部分です。ここで頂点の数を求めてみますと正五角形の頂点がこの立体の頂点と一致します。正五角形は１２個ありますから
５×１２＝６０個
次に辺の数ですが、正２０面体の角を切り落とす前は、正三角形が２０個で１つの辺を２つの正三角形が接していますから
３×２０÷２＝３０本
これに切断でできた正五角形の周りの辺が
５×１２＝６０本
以上で辺は
３０＋６０＝９０本
これに頂点の数を足して
９０＋６０＝１５０
答え １５０
この問題が灘中に出たころは画期的な問題だったのでしょう。ところが今ではこんな問題は解法が決まっているので、まあ言えば基本問題くらいの扱いになっていて、名門校を受ける中学受験生は当たり前のごとく知っているのです。きょうびの名門校の入試問題はこれを公式扱いして、ここから問題がひねられてくるのです。それを小学生が解くわけですから、恐ろしい時代になったものですね。
よろしくお願いします。
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