の値をも求めます。
最初は三角関数の公式を使って以下のように変形します。
sin²x+cos²x=1 の両辺を2乗して
sin⁴x+cos⁴x+2sin²xcos²x=1だから
sin⁴x+cos⁴x=1-2sin²xcos²x....①
2倍角の公式 sin(2x)=2sinxcosx の両辺を2乗すると
sin²(2x)=4sin²xcos²x ...②
①②を使うと
sin⁴x+cos⁴x=1-1/2in²(2x) になります。
したがって
の値を求まればいいです。
＜別解１＞
なぜ、tan^(-1)(1+√2)が、3π/8 なのかはこの図を見てください。
底辺が１で高さが1+√2 の直角三角形の底辺に対する斜辺の角度が67.5°=3π/8 です。
つぎに
tan^(-1)(√2-1)=π/8 の理由も次の図をみてください。
底辺が1+√2で高さが1の直角三角形の底辺に対する斜辺の角度は22.5°=π/8 です。
また、以下のようにあtan^(-1)の加法定理を使ってもいけます。
＜別解２＞
＜同じく複素積分で、留数定理を使ったやり方＞
同様な計算を他の３つの留数に対して行うとすべて1/4 になります。
最後に複素数への置換積分をやります。
これは複素積分とは違います。
以上です。