ワイエルシュトラスの置換 t=tan(x/2) を複素数を使って変換してみた

三角関数の積分のとき、t=tan(x/2) と置換することを「ワイエルシュトラス置換」といいます。

「半角正弦置換」とも言うようです。

その置換の様子を図で表すと以下のような単位円で 円周上の点はｙ軸上に移ることになります。

実際にどうやって変換するかというとよく知られている式変形は以下のようなものです。

また、計算はちょっと複雑ですが、sinxへの変換は、以下のようにしてもいいと思います。

複素数を使っての変換をやってみました。おそらくこの変換の仕方は、あまり知られてはいないと思います。