以下のような2重積分を計算してみました。
(1)
２通りのやり方で行います。
もう一つのやり方を示します。
したがって
この値は、
となります。
この考え方は以下のようにシンプルにやることもできます。
今度は３重積分です。
⑵
この積分も２通りで行います。
この被積分関数は以下のようになるので
したがって、
もう一つのやり方
つづいて４重積分
(3)
よって
別なやり方では
となります。
このような結果から、帰納的に考えると
このΣで書かれたものはディラックのイータ関数と呼ばれるもので、
と定義されます。 これは n≧1 のときに収束した値を持ちます。
k=1 のときは、log 2 になります。
また、ゼータ関数 (これは n≧2 のときに収束した値を持つ）
との関係式をつくると
を以下のよう変形すると
下線部にゼータ関数が出てくるので
として ②×2- ①を計算すると
また、下線部にゼータ関数が出てくるので
となります。
したがって
が成り立ち，以下のようなゼータ関数に関する積分形式がも求まります。
もっと単純にすれば
であるので、
となります。