【基本事項】
全微分方程式
P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0......①
で、
∂P/∂y=∂Q/dx
のとき、完全微分方程式となる。
完全微分方程式の解は、
F(x,y)=C
という形になる。
実際にこれをxで微分してみると
dF/dx=(∂F/∂x)+(∂F/∂y)(dy/dx)=0
だから、
dF=(∂F/∂x)dx+(∂F/∂y)dy=0
を満たす。
①と比較すると、
∂F/∂x=P(x,y)
xで積分して、
F(x,y)=∫Pdx+h(y)......②
これをyで偏微分したものが、①のQに等しいから、
∂F/∂y=∂(∫Pdx)/∂y+dh/dy=Q
dh/dy=Q-∂(∫Pdx)/∂y
yで積分して、
h(y)=∫Qdy-∫{∂(∫Pdx)/∂y}dy+C
これを②に代入すると、
F(x,y)=∫Pdx+∫Qdy-∫{∂(∫Pdx)/∂y}dy=C
が一般解である。
P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0
は、
(dy/dx)+P/Q=0
y'=-P/Q
完全微分方程式ではない場合
P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0
に積分因子λをかけると
λPdx+λQdy=0
∂(λP)/∂y=∂(λQ)/∂x
の時に完全微分方程式になる。
ということは、
P(∂λ/∂y)+λ∂P/∂y=Q(∂λ/∂x)+λ∂Q/∂x
λ(∂P/∂x-∂Q/∂x)=Q(∂λ/∂x)-P(∂λ/∂y)
λ(Py-Qx)=Q(∂λ/∂x)-P(∂λ/∂y)
を満たすλを求めればいい。.....①
この偏微分方程式を一般的に解くのは、難しいので、
⑴λがyだけの関数λ(y)の時を考える。
①で∂λ/∂x=0、∂λ/∂y=dλ/dx
になり、
λ(Py-Qx)=-P(dλ/dy)
{(Py-Qx)/P}dy=-dλ/λ
左辺がyだけの関数ならば、
-∫{(Py-Qx)/P}dy=logλ
λ(y)=exps[-∫{(Py-Qx)P}dy]
で与えられる。
(2)
λがxだけの関数の場合、
(Py-Qx)/Pがxの関数ならば、
同様な計算で、
λ(x)=exps[∫{(Py-Qx)P}dx]
で与えられる。
(3)
λがx+y=uの関数のとき。
λ(Py-Qx)=Q(∂λ/∂x)-P(∂λ/∂y)
で、
∂λ/∂x=(dλ/du)(∂u/∂x)
=dλ/du
∂λ/∂y=dλ/du
だから、
λ(Py-Qx)=(Q-P)dλ/du
λ(u)=∫exp(-(Py-Qx)/(P-Q)•du)
が積分因子
【例題】
(x+y+1)dx+dy=0
P=x+y+1
Q=1
Py=1
Qx=0
(Py-Qx)/(P-Q)=1/(x+y)=1/u
積分因子λ=exp(-∫(1/u)du)
=exp(-logu)
=1/u
=1/(x+y)
よって、
1/(x+y)
をかけると、
(1+1/(x+y))dx+(1/(x+y))dy=0
∂F/∂x=1+1/(x+y)
=x+log(x+y)+h(y)
∂F/∂y=1/(x+y)+dh/dy=1/(x+y)
よって、h=C
x+log(x+y)=c
(x+y)e^x=C
x+y=Ce^(-x)
y=-x+Ce^(-x)
【微分方程式が変数分離ができるとき】
dy/dx=f(x)g(y)
これを全微分方程式の形で書けば、
f(x)g(y)dx-dy=0......①
これが、完全微分方程式になるためには、
f(x)dx+{1/g(y)}dy=0
になればいい。
なぜなら、
∂f/∂y=0
∂{1/g)/∂x=0
で完全微分方程式の条件を満たすから。
すなわち、①の全微分方程式の
積分因子は、1/g(y)である。
このとき、
∫f(x)dx+∫{1/g(y)}dy=C
を解にもつ。
【微分方程式が同次形の時】
dy/dx=f(y/x)
という微分方程式が
P(y/x)dx+Q(y/x)dy=0......②
という全微分方程式に変形できる時。
u=y/xと置くと、
y=ux
dy=udx+xdu
だから、
P(u)dx+Q(u)dy
=Pdx+Q(udx+xdu)
=(P+Qu)dx+Qxdu=0......③
↓
変数分離して、
∫(1/x)dx+∫{Q/(P+Qu)}du=C.....④
が一般解。
ということは、③で④になったから、
1/{(P+Qu)x}
=1/(Px+Qy)
が②の積分因子として考えればいい。
【例題】
dy/dx=(2x-y)/(x-2y)
dy/dx=(2-y/x)/(1-2y/x)
(2-y/x)dx+(2y/x-1)dy=0
積分因子
=1/(2x-y+2y^2/x-y)
=x/{2(x^2-xy+y^2)}
(2x-y)/(x^2-xy+y^2)•dx+(2y-x)/(x^2-xy+y^2)•dy=0
は完全微分方程式
∂F/∂x=(2x-y)/(x^2-xy+y^2)
F=log(x^2-xy+y^2)+h(y)
∂F/∂y=(2y-x)/(x^2-xy+y^2)+dh/dy
=(2y-x)/(x^2-xy+y^2)
より
dh/dy=0
よって、
h=c
F=log(x²-xy+y²)+c=C1
よって、
x²-xy+y²=C
【微分方程式がx+yの関数である時】
dy/dx=f(x+y)
で
P(x+y)dx+Q(x+y)dy=0......⑤
に変形できる時。
u=x+yと置きます。
du=dx+dy
dy=du-dx
だから、
P(u)dx+Q(u)(du-dx)=0
(P-Q)dx+Qdu=0.....⑥
dx+{Q/(P-Q)}du=0......⑦
と変数分離できるので
⑥の積分因子をλ(u)は、
1/(P-Q)
である。
ということは、
⑤の形で
P(x+y)-Q(x+y)が、x+yの関数ならば、⑤に積分因子1/(P-Q)をかけると、完全微分方程式になる。
【線形微分方程式のとき】
dy/dx=p(x)y+q(x)
のとき、
全微分方程式の形にすると
(py+q)dx-dy=0
積分因子λ(x)
をかけると
∂(λpy+qλ)/∂y=-dλ/dxが完全微分方程式の条件。
左辺をyで偏微分すると
λp=-dλ/dx
-pdx=dλ/λ
-∫p=logλ
λ(x)=exp(-∫px)
が積分因子になる。
【例題】
dy/dx+y/x=x
dy/dx=-y/x+x
dy=(x-y/x)dx
全微分方程式にすると
(-y/x+x)dx-dy=0.......(1)
積分因子は
λ=exp(∫(1/x)dx
=exp(logx)
=x
(1)にxをかけて
(-y+x²)dx-xdy=0
は完全微分方程式
∂F/∂x=-y+x²
F(x,y)=-xy+(1/3)x^3+h(y)
yで偏微分
∂F/∂y=-x+dh/dy=-x
よって、dh/dy=0
h=c
よって、
F=-xy+(1/3)x³=C
xy+C=(1/3)x³
xy=C+(1/3)x³
y=C/x+(1/3)x²
【ベルヌーイ型の微分方程式】
dy/dx=p(x)y+q(x)y^m
m≠0,1
z=1/(1-m)•y^(1-m)と置くと、
dz/dx=(1-m)pz+q
という線形微分方程式になり、
{(1-m)pz+q}dx-dz=0
という全微分方程式になる。
この積分因子は、前の議論から
exp{(m-1)∫pdx}
次に、
dz=y^(-m)dy
を使って
(py^(1-m)+q)dx-y^(-m)dy=0
この形は、
dy/dx=p(x)y+q(x)y^m
を全微分方程式にした式
(py+qy^m)dx-dy=0.......⑧
にy^(-m)をかけた形になっている。
ということは、⑧の積分因子をλ(x)とすると
λ=y^(-m)exp{(m-1)∫pdx}
になる。
【例題】
xy'+y+(xy)²=0
dy/dx=-y/x-xy²
(-y/x-xy²)dx-dy=0
積分因子は
y^(-2)exp(1∫(-1/x)dx
=y^(-2)exp(log(1/x))
=1/(xy²)
(-1/(x²y)-1)dx-(1/(xy²)dy=0
は完全微分方程式
F=1/(xy)-x+h(y)
∂F/∂y=-1/(xy²)+dh/dy=-1/(xy²)
よって、h=c
F=1/(xy)-x+c=C
1/xy=C+x
y=1/{x(C+x)}
【リカッチ型】
y′= p(x)y² + q(x)y + r(x)
は、特解 φ が 見つかったならば、
z=y-φ とおいて
ベルヌーイ型に帰着できる。
y=z+φ
dy/dx=dz/dx+dφ/dx
を使って、
dz/dx+dφ/dx=p(z+φ)² +qx+r
=p(z² +2zφ+φ²)+qx+r
よって
dz/dx=(2pφ+q)z+pz²+pφ²+qφ+r-dφ/dx
ところが、
φは、y′= py² + qy + r
の解で
φ'=pφ²+qφ+r
を満たすので、
dz/dx=(2pφ+q)z+pz²+pφ²+qφ+r-(pφ²+qφ+r)
dz/dx=(2pφ+q)z+pz²
の「ベルヌーイ型」になる。
この積分因子は
(1/z²)exp(∫(2pφ+q)dx)
