1³+2³+3³+4³+5³+…=1/120 になることの証明は，正式には，リーマンゼータ関数を導入して，解析接続を行って
ζ(-3)=1/120 を導く必要がある。
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https://ameblo.jp/titchmarsh/entry-12130347141.html
に詳細を書いたので参考にしてください。
以下、高校数学の微分の知識をつかって証明していく。
A=1³+2³+3³+4³+5³+… とする
このAの交代級数
B=1³-2³-3³-4³-5³+…
を考える。
A-Bをつくると
A-B=2(2³+4³+6³+8³+…）
=2{(2×1)³+(2×2)³+(2×3)³+(2×4)³+…}
=2×2³(1³+2³+3³+4³+5³+…)
=16(1³+2³+3³+4³+5³+…)
ここで右辺にA=1³+2³+3³+4³+5³+…
が表れたので
A-B=16A
よって
15A=-B
A=-B/15
になるので B=1³-2³-3³-4³-5³+…
を求めることにする。
初項が1で公比がrの等比す数列の和は
S=1/(1-r)
である。この公式は|r|＜1 のとき成り立つが，ここではrの条件（定義域）を外して（拡張して）
r≠1のときに成り立つとして話しをすすめよう。（実はこれが解析接続という考え方である）
r=-xとして
S(x)=1/(1+x)
という関数を考えると
1/(1+x)=1-x+x²-x³+x⁴-x⁵+…
が成り立つ。
両辺をxで微分する
{(1+x)-x}/(1+x)²=1-2x+3x²-4x³+5x⁴-…
1/(1+x)²=1-2x+3x²-4x³+5x⁴-…
さらにこの等式の両辺にxをかける。
x/(1+x)²=x-2x²+3x³-4x⁴+5x⁵-…
両辺をxで微分
{(1+x)²-2x(1+x)}/(1+x)⁴=1-2²x+3²x²-4²x³+5²x⁴-…
(1-x²)/(1+x)⁴=1-2²x+3²x²-4²x³+5²x⁴-…
さらにこの等式の両辺にxをかける。
x(1-x²)/(1+x)⁴=x-2²x²+3²x³-4²x⁴+5²x⁵-…
両辺をxで微分
{(1-3x²)(1+x)⁴-4(x-x³)(1+x)³}/(1+x)⁸=1-2³x+3³x²-4³x³+5³x⁴-…
この式にx=1を代入すると
(1-3)2⁴/2⁸=1-2³+3³-4³+5³-…
-1/8=1-2³+3³-4³+5³-…
右辺は，まさにBである。
したがって
A=(-1/8)×(-1/15)=1/120
よって
1³+2³+3³+4³+5³+…=1/120