1²+2²+3²+4²+......=0 になることの証明は，正式には，リーマンゼータ関数を導入して，解析接続を行って
ζ(-2)=0 を導く必要がある。
↓
https://ameblo.jp/titchmarsh/entry-12130347141.html
に詳細を書いたので参考にしてください。
今回は、その「証明」を高校生の数学の範囲で、行うたいと思う。
A=1²+2²+3²+4²+…として，このAを求めることにする。
そこで，
B=1²-2²+3²-4²+…を用意する
A-B=2(2²+4²+6²+8²+10²+…)
=2{2²(1+2²+3²+4²+5²+…)}
=8(1²+2²+3²+4²+…)
ここに A=1²+2²+3²+4²+…が表れたので
A-B=8A が成り立ち，7A=-B になるので，Bを求めればAも求まる。
そこで，
B=1²-2²+3²-4²+…を求めることにしよう。
初項が1で公比がrの等比す数列の和は
S=1/(1-r)
である。この公式は|r|＜1 のとき成り立つが，ここではrの条件（定義域）を外して（拡張して）
r≠1のときに成り立つとして話しをすすめよう（実はこれが解析接続という考え方である）
r=-xとして
S(x)=1/(1+x)
という関数を考えると
1/(1+x)=1-x+x²-x³+x⁴-x⁵+…
が成り立つ。
両辺にxをかけて
x/(1+x)=x-x²+x³-x⁴+x⁵-…
両辺をxで微分する
{(1+x)-x}/(1+x)²=1-2x+3x²-4x³+5x⁴-…
1/(1+x)²=1-2x+3x²-4x³+5x⁴-…
さらにこの等式の両辺にxをかける。
x/(1+x)²=x-2x²+3x³-4x⁴+5x⁵-…
両辺をxで微分
{(1+x)²-2x(1+x)}/(1+x)⁴=1-4x+9x²-16x³+25x⁴-…
((1+x)-2x}/(1+x)³=1-4x+9x²-16x³+25x⁴-…
(1-x)/(1+x)³=1-4x+9x²-16x³+25x⁴-…
この式にx=1を代入すると
(1-1)/(1+1)³=1-4+9-16+25-…
よって
0=1-4+9-16+25-…
これは，Bである。したがって、B=0で、7A=-B であったので、
A=0 である。
以上より、
A=1²+2²+3²+4²+…=0 になった。
＜おまけ＞
この証明の中で
1/(1+x)²=1-2x+3x²-4x³+5x⁴-…
という式が出てきて，
これにx=1を代入すると
1/4=1-2+3-4+5-…
が成り立つ。
これは
S=1+2+3+4+… を求めるときに
その交代級数
T=1-2+3-4+…
を導入して，S-Tをつくると
S-T=2(2+4+6+8+…)
=2{2(1+2+3+…)}
=4(1+2+3+…)
=4S
より
S-T=4S
3S=T
S=T/3=-1/12
よって
1+2+3+4+…=-1/12
が成り立つ。
これは、
https://ameblo.jp/titchmarsh/entry-12093746231.html
にも記載しています。