∫√(x²+a²)dxの不定積分の解法です。
解法①（参考書に頻繁に出ているもの）
√(x²+a²)=t-x と置換
このやり方は、x=(t²-a²)/2t と置換するやり方と同値である。
なぜならば、√(x²+a²)=t-xの両辺を2乗すると、
x²+a²=(t-x)²
x²+a²=t²-2xt+x²より、
ｘ=(t²-a²)/2t....⑴となる。
t=x+√(ｘ²+a²)で、両辺をｘで微分
dt/dx=1+x/√(ｘ²+a²)
=(x+√(ｘ²+a²))/√(ｘ²+a²)
=t/√(ｘ²+a²)
よって、dx=√(ｘ²+a²)/t ･dt.....⑵
また、√(x²+a²)=t-xの右辺のxに、(1)を代入すると、
√(x²+a²)
=t-(t²-a²)/2t
=(t²+a²)/2t....⑶ になる。
⑵に⑶を代入して
dx=√(ｘ²+a²)/t ･dt
=(t²+a²)/2t² dt....⑷
整理します。⑶の√(x²+a²)=(t²+a²)/2t
と⑷のdx=(t²+a²)/2t² dt
を
∫√(x²+a²)dxに代入すると ∫(t²+a²)²/4t³ dt
というように，tだけの積分になった。
よって，これをtで積分します。
与式=∫(t⁴+2a²t²+a⁴)/4t³ dt
=∫{(1/4)t+(a²/2t)+(a⁴/4t³)} dt
=(1/8)(t²-a⁴/t²)+(a²/2)logt
ここで、t²-a⁴/t² をｘの式に戻します。
t²-a⁴/t²=(t+a²/t)(t-a²/t)
=(t+a²/t)(t²-a²)/t
⑴より
2x=(t²-a²)/t
だったから、
t²-a⁴/t²=2x(t+a²/t)
t+(a²/t) は，t=x+√(x²+a²)を使って，
t+a²/t
=x+√(x²+a²)+a²/{x+√(x²+a²)}
={(x+√(x²+a²))²+a²}/{x+√(x²+a²)}
={x²+2x√(x²+a²)+x²+a²+a²}/{x+√(x²+a²)}
=2{x²+a²+x√(x²+a²)}/{x+√(x²+a²)}
=2√(x²+a²){√(x²+a²)+x}/{x+√(x²+a²)}
=2√(x²+a²)
よって、(t²-a⁴/t²)=4x√(ｘ²+a²)
よって、
∫√(x²+a²)dx
=(1/8)(t²-a⁴/t²)+(a²/2)logt
=(1/2)x√(x²+a²)+(a²/2)log {x+√(x²+a²)}
解法②
√(x²+a²)=t-x と置換する方法ですが，①よりも計算が楽です。
∫√(x²+a²)dx
=∫(x)'√(x²+a²)dx
=x√(x²+a²)-∫x(√(x²+a²)'dx
=x√(x²+a²)-∫x²/√(x²+a²)dx
一方で，
∫√(x²+a²)dx
=∫√(x²+a²)√(x²+a²)/√(x²+a²)dx
=∫(x²+a²)/√(x²+a²)dx
=∫x²/√(x²+a²)dx-∫a²/√(x²+a²)dx
この2式をたすと
2∫√(x²+a²)dx=x√(x²+a²)-∫a²/√(x²+a²)dx
となる。
したがって、∫a²/√(x²+a²)dx がわかればいい。
∫1/√(x²+a²)dxは，
dx=√(ｘ²+a²)/t ･dt
だったので、
∫1/√(x²+a²)dx
=∫1/√(x²+a²)√(ｘ²+a²)/t ･dt
=∫(1/t)dt
=logt
=log(x+√(x²+a²))
よって
2∫√(x²+a²)dx=x√(x²+a²)-a²log(x+√(x²+a²))
∫√(x²+a²)dx=(x/2)√(x²+a²)-(a²/2)log(x+√(x²+a²))
解法③
x=asinh(t) と置換
x/a=sinht
よって、
t=shin^(-1)(x/a)
=log{x/a+√(x²/a²+1)}
=log{x+√(x²+a²)/a)}
=log{x+√(x²+a²)}-log(a)
また、
dx/dt=acosht
である。
よって
dx=acosht dt
また、
cosh²t-sinh²t=1 より、
√(x²+a²)=√(a²sinh²(t)+a²)
=a√(1+sinh²t)
=a√cosh²t
=acosht
よって、
∫√(x²+a²)dx
=∫acosht ･acosht dt
=∫a²cosh²t dt
したがって、
∫a²cosh²tｄt を求めればいい。
cosh²t=(1/2)(1+cosh2t)なので、
1/2∫a²(1+cosh2t)dt
=(a²/2)(t+1/2sinh2t)
=(a²/2)(t+1/2･２sinhtcosht)
=(a²/2)(t+sinhtcosht)
=(a²/2){t+sinht√(1+sinh²t)}
=(a²/2)t+(a²/2)sinht√(1+sinh²t)
ここで、
t=log((x+√(x²+a²)/a)=log(x+√(x²+a²))-loga
及び
sinht=x/a
であるので、
与式=
(a²/2){log(x+√(x²+a²))-loga}+(a²/2)(x/a)√(1+(x/a)²)
=(a²/2){log(x+√(x²+a²))-log(a)}+(a/2)x√(1+(x/a)²)
=(a²/2)(log(x+√(x²+a²))-(a²/2)log(a)+(1/2)x√(a²+x²)
=(1/2)x√(x²+a²)+(a²/2)log {x+√(x²+a²)}-(a²/2)loga
-(a²/2)log(a)を積分定数と考えれば①と同じ答えになる。
解法④
ae^t=x+√(x²+a²) と置換する。
ｔ=log[(x+√(x²+a²))/a]であるので、③と同値である。
しかし、ここでは双曲線関数を使わずにやってみる。
ｔ=log{x+√(x²+a²)}-loga
をxで微分
dt/dx={1+x/√(x²+a²)}/{x+√(x²+a²)}
右辺は、分母と分子に√(x²+a²)をかけて変形して、
dt/dx={√(x²+a²)+x}/{(x+√(x²+a²))√(x²+a²)}
=1/√(x²+a²)
よって，
dx=√(x²+a²)dt
よって、∫(x²+a²)dt を求めればいい。
この被積分関数のxをtの式にもっていく。
ae^t=x+√(x²+a²)より、ae^t-x=√(x²+a²)
両辺を2乗して、
(ae^t-x)²=ｘ²+a²
a²e^(2t)-2xae^t+ｘ²=ｘ²+a²
a²e^(2t)-2xae^t=a²
2xae^t=a²e^(2t)-a²
よって
x=(a/2)(e^t-e^-t)
2乗して、
x²=(a²/4){e^(2t)-2+e^(-2t)}
よって、
x²+a²=(a²/4){e^(2t)-2+e^(-2t)}+a²
=(a²/2)+(a²/4){e^(2t)+e^(-2t)}
よって
∫(x²+a²)dt
=∫[(a²/2)+(a²/4){e^(2t)+e^(-2t)}]dt
=(a²/2)t+(a²/8){(e^(2t)-e^(-2t)}
この中の
a²e^(2t)-a²e^(-2t) をxの式にもっていけばいい。
ここで
a²e^(2t)-a²e^(-2t)
=a²{e^(2t)-e^(-2t)}
=(ae^t+ae^-t)(ae^t-ae^-t)
である。
また、ae^t=x+√(x²+a²) より
e^t={x+√(x²+a²)}/a
であるので、この逆数は、
e^(-t)=a/{x+√(x²+a²)} である。
よって、
ae^(-t)=a²/{x+√(x²+a²)}
これより、
ae^t+ae^-t
=x+√(x²+a²)+[a²/{x+√(x²+a²)}]
=({x+√(x²+a²)}²+a²)/{x+√(x²+a²)}
=({x²+2x√(x²+a²)+x²+a²)/{x+√(x²+a²)}
=2(x²+a²+x√(x²+a²))/{x+√(x²+a²)}
=2√(x²+a²){√(x²+a²)+x}/{x+√(x²+a²)}
=2√(x²+a²)
また，
ae^t-ae^(-t)
=a{e^t-e^(-t)}
=a(2x/a)
=2x
よって
(ae^t+ae^-t)(ae^t-ae^-t)
=2√(x²+a²)2x
=4x√(ｘ²+a²)
以上より、
∫(x²+a²)dt
=(a²/2)log((x+√(x²+a²))-(a²/2)loga+(1/2)x√(x²+a²)
=(1/2)x√(x²+a²)+(a²/2)log {x+√(x²+a²)}-(a²/2)loga
となり、③と一致した。
解法⑤ （とても面倒である）
x=atan(t)と置換
dx/dt=a/cos²t
√(x²+a²)=a√(1+tant²)=a√(1/cos²t）=a/cost
よって、a²∫1/(cos³t)dt を求めればいい。
∫1/(cos³t)dt について
∫1/(cos³t)dt
=∫cost/(cos⁴t)dt
=∫cost/(1-sin²t)²dt
sint=uとおくと
dt=du/cost
だから、
∫1/(1-u²)² du
=∫1/(1-u)²・1/(1+u)² du
=(1/4)∫(1/(1+u)² +1/(1+u)+1/(1-u)² +1/(1-u)) du
=(1/4)(-1/(1+u)+log(1+u)+1/(1-u)-log(1-u))
=(1/2)(u/(1-u²))+(1/4)log((1+u)/(1-u))
=(1/2)(sint/cos²t)+(1/4)log((1+sint)/(1-sint))
=(1/2)sint(1+tan²t)+(1/4)log((1+sint)/(1-sint))
=(1/2)sint(1+x²/a²)+(1/4)log((1+sint)/(1-sint))
ここで
x=atant=asint/cost
で
cost=1/√(１+tan²t)
だから、
x=asint√(1+tan²t)
=asint√(１+(x/a)²)
=sint√(a²+x²)
よって、
sint=x/√(a²+x²)
また、
(1+sint)/(1-sint)
=(1+x/√(a²+x²))/(1-x/√(a²+x²))
=(x+√(a²+x²))/(√(a²+x²)-x)
=(x+√(a²+x²))²/a²
= {(x+√(a²+x²))/a}²
よって
log((1+sint)/(1-sint))
=log {(x+√(a²+x²))/a}²
=2log {(x+√(a²+x²))/a}
以上より
a²∫1/(cos³t)dt
=(a²/2)x(1+x²/a²)/√（a²+x²)+(a²/2)log｛(x+√(a²+x²))/a｝
=(1/2)x√(a²+x²)+(a²/2)log(x+√(a²+x²))-(a²/2)loga
解法⑥
解法⑤の途中から
∫1/(cos³t)dt について、y=tan(t/2)と置換。
dy/dt=(1/2)(1/cos²(t/2))
=(1+tan²(t/2))/2
dt=2dy/(1+y²)
cost=2cos²(t/2)-1
=2(1/(1+tan²(t/2))-1
=2/(1+y²)-1
=(1-y²)/(1+y²)
よって、
∫1/(cos³t)dt
=2∫(1+y²)²/(1-y²)³dy
=∫｛1/{2(1+y)}-1/{2(1+y)²}+1/{(1+y)³+1/{2(1-y)}-1/{2(1-y)²}+1/{(1-y)³}｝dy
=(1/2)log(1+y)+1/{2(1+y)}-1/{2(1+y)²}-(1/2)log(1-y)-1/{2(1-y)}+1/{2(1-y)²}
=(1/2)log((1+y)/(1-y))+y(1+y²)/(1-y²)²
ここで、
y=tan(t/2)
及び
x=atan(t)
だった。
これを使って
y(1+y²)/(1-y²)²
をxの式にする
cos²t=1/(1+tan²t)
=1/(1+x²/a²)
=a²/(a²+x²)
である
よって
cost=a/√(x²+a²)
一方で，
cost=(1-y²)/(1+y²)
だったので
a/√(x²+a²)=(1-y²)/(1+y²)
が成り立つ．
A=a/√(x²+a²)
として，
A=(1-y²)/(1+y²)
A(1+y²)=1-y²
A+Ay²=1-y²
y²+Ay²=1-A
y²(1+A)=(1-A)
よって
y²=(1-A)/(1+A)
これをつかって、まずは
y(1+y²)/(1-y²)²
の式の分母を計算する
1-y²=1-(1-A)/(1+A)
=((1+A)-(1-A))/(1+A)
=(1+A-1+A)/(1+A)
=2A/(1+A)
だから
(1-y²)²=4A²/(1+A)²
分子は，
1+y²=1+(1-A)/(1+A)
=((1+A)+(1-A))/(1+A)
=(1+A+1-A)/(1+A)
=2/(1+A)
だから、
y(1+y²)/(1-y²)²
=2y/(1+A)×(1+A)²/(4A²)
=(1+A)y/(2A²)
ここの分子は，
y(1+A)
=√(1-A)/√(1+A)×(1+A)
=√((1-A)(1+A))
=√(1-A²)
=√(1-a²/(x²+a²))
=x/√(x²+a²)
分母は，
2A²=2a²/(x²+a²)
よって
y(1+y²)/(1-y²)²
=(1+A)y/(2A²)
=x/√(x²+a²)･(x²+a²)/(2a²)
=(x/2a²)√(a²+x²)
になります。
次に
log((1+y)/(1-y))
について
(1+y)/(1-y)
の分子と分母は
1+y=1+√((1-A)/(1+A))
1-y=1-√((1-A)/(1+A))
であるので
であるので
(1+y)/(1-y)
の分母と分子に √(1+A)をかけて
{√(1+A)+√(1-A)}/{√(1+A)-√(1-A)}
になります。
有理化します
{√(1+A)+√(1-A)}²/{(1+A)-(1-A)}
={√(1+A)+√(1-A)}²/(2A)}
=(1+A+1-A+2√(1-A²))/(2A)
=(2+2√(1-A²))/(2A)
=(1+√(1-A²))/A
になります。
ここで
1-A²
=1-a²/(x²+a²)
=(x²+a²-a²)/(x²+a²)
=x²/(x²+a²)
だから
1+√(1-A²)
=1+x/√(x²+a²)
={x+√(x²+a²)}/√(x²+a²)
で
(1+√(1-A²))/A
は、
{x+√(x²+a²)}/√(x²+a²)を A=a/√(x²+a²)
でわればいいので、
(1+√(1-A²))/A
={x+√(x²+a²)}/√(x²+a²)÷a/√(x²+a²)
={x+√(x²+a²)}/√(x²+a²)･√(x²+a²)/a
={x+√(x²+a²)}/a
よって
log((1+y)/(1-y))
=log[{x+√(x²+a²)}/a]
=log{x+√(x²+a²)}-loga
以上より、
∫1/(cos³t)dt =(x/2a²)√（a²+x²)+(1/2)log(x+√（a²+x²))-(1/2)loga
となり、⑤と同じ値になります。
解法⑦
天下り的ではあるが、最初に
x√(x²+a²) の微分を考える。
d(x√(x²+a²))/dx=√(x²+a²)+x²/√(x²+a²)=(2x²+a²)/√(x²+a²)
であるので、
∫(2x²+a²)/√(x²+a²)dx=x√(x²+a²)
が成り立つ。
したがって、
∫(2x²)/√(x²+a²)dx+∫a²/√(x²+a²)dx=x√(x²+a²)
である。
∫1/√(x²+a²)dx は、置換 t=x+√(x²+a²) によって、容易に
∫1/√(x²+a²)dx=log{x+√(x²+a²)}
となるので、
∫(2x²)/√(x²+a²)dx+a²log{x+√(x²+a²)}=x√(x²+a²)
よって
∫x²/√(x²+a²)dx=(x/2)√(x²+a²)-(a²/2)log{x+√(x²+a²)}
が成り立つ。
そこで、②でやったように
∫√(x²+a²)dx=x√(x²+a²)-∫x²/√(x²+a²)dx
であるので、 上式を代入して
∫√(x²+a²)dx=x√(x²+a²)-(x/2)√(x²+a²)+(a²/2)log{x+√(x²+a²)}
=(x/2)√(x²+a²)+(a²/2)log{x+√(x²+a²)}
と求めることができる。
＜追記＞
∫√(x²+a²)dx=(1/2)x√(x²+a²)+(a²/2)log {x+√(x²+a²)}
という結果から、
②の解法の途中ででてきた
∫√(x²+a²)dx=x√(x²+a²)-∫x²/√(x²+a²)dx
という式の左辺に，題意の結果を代入すると
(1/2)x√(x²+a²)+(a²/2)log {x+√(x²+a²)}=x√(x²+a²)-∫x²/√(x²+a²)dx
になるので、
∫x²/√(x²+a²)dx
=x√(x²+a²)-(1/2)x√(x²+a²)-(a²/2)log {x+√(x²+a²)}
=(1/2)x√(x²+a²)-(a²/2)log {x+√(x²+a²)}
という不定積分も成り立ちます。
解法⑧
∫√(x²+a²)dx
=∫{(x²+a²)/√(x²+a²)}dx
=∫{x²/√(x²+a²)}dx+a²∫{1/√(x²+a)}dx…①
■第1項について
{√(x²+a²)}'
=(1/2){(x²+a²)'/√(x²+a²)}
=x/√(x²+a²)より，部分積分を行うと，
∫{x²/√(x²+a²)}dx
=∫x{x/√(x²+a²)}dx
=∫x{√(x²+a²)}'dx
=x√(x²+a²)-∫x'{√(x²+a²)}dx
=x√(x²+a²)-∫√(x²+a²)dx
■第2項について
x+√(x²+a²)=tとおくと，
[1+(1/2){(x²+a²)'/√(x²+a²)}]dx=dt
[1+{x/√(x²+a²)}]dx=dt
[{x+√(x²+a²)}/√(x²+a²)]dx=dt
{t/√(x²+a²)}dx=dt
{1/√(x²+a²)}dx=(1/t)dt
これより，
∫{1/√(x²+a²)}dx
=∫(1/t)dt
=log|t|+C₁
=log|x+√(x²+a²)|+C₁ (C₁：積分定数)
よって，I=∫√(x²+a²)dxとすると，①は
I=x√(x²+a²)-∫√(x²+a²)dx+a²(log|x+√(x²+a²)|+C₁)
I=x√(x²+a²)-I+a²log|x+√(x²+a²)|+a²C₁
2I=x√(x²+a²)+a²log|x+√(x²+a²)|+a²C₁
I=(1/2){x√(x²+a²)+a²log|x+√(x²+a²)|}+a²C₁/2
最後にa²C₁/2=Cとおくと，
∫√(x²+a²)dx=(1/2){x√(x²+a²)+a²log|x+√(x²+a²)|}+C (C：積分定数)