レムニスケート曲線
極座標(r,θ)で，r²=2a²cos(2θ)
直交座標で， (x²+y²)²=2a²(x²-y²)
の曲線の長さと面積を求めます．
a=1として計算する。
r²=2cos(2θ)
の1/4の曲線
0≦θ≦π/2
で考えます。
0≦θ≦π/4
では、cos(2θ)≧0
だから、
r=√{2cos(2θ)}
π/4≦θ≦π/2
では、cos(2θ)≦0
だから、
r=√{2cos(2θ)}
は関数ではなくなる。
極座標での長さ
∫√{r²+(dr/dθ)²} dθ
0→π/4
(√(2cos(2θ)))'
=-√2sin(2θ)/√(cos(2θ))
で
その二乗は
2sin²(2θ)/cos(2θ)
よって
r²+(dr/dθ)²
=2cos(2θ)+2sin²(2θ)/cos(2θ)
=(2cos²(2θ)+2sin²(2θ))/cos(2θ)
=2/cos(2θ)
=2/(cos²θ-sin²θ)
=2/(2cos²θ-1)
そこで
∫√{2/(2cos²θ-1)}dθ
0→π/4
を実行しますが
tanθ=t
として置換
θ=0のとき t=0
θ=π/4のとき、t=tan(π/4)=1
dt/dθ=1/cos²(θ)
=1+tan²θ
=1+t²
よって
dt=(1+t²)dθ
dθ=1/(1+t²) dt
cos²θ=1/(1+tan²θ)
=1/(1+t²)
よって
2cos²θ-1
=2/(1+t²)-1
={2-(1+t²)}/(1+t²)
=(1-t²)/(1+t²)
∫√{2/(2cos²θ-1)}dθ
=∫√2√{(1+t²)/(1-t²} 1/(1+t²) dt
=∫√2/√(1-t⁴) dt
0→1
この積分は
ガンマ関数とベータ関数を使う
ベータ関数の定義
B(x,y)=∫[0→1]t^(x-1)(1-t)^(y-1) dt
∫[0→1]1/√(1-t⁴) dt
=∫[0→1](1-t⁴)^(-1/2) dt
ここで
t⁴=s
とすると
t=s^(1/4)
ds/dt=4t^3
dt=(1/4)t^(-3)ds
=(1/4)s^(-3/4) ds
よって
∫[0→1](1-t⁴)^(-1/2) dt
=∫[0→1](1-s)^(-1/2) (1/4)s^(-3/4) ds
=(1/4)∫[0→1]s^(1/4-1)(1-s)^(1/2-1) ds
=(1/4)B(1/4,1/2)
ベータ関数とガンマ関数の関係は
B(x,y)=Γ(x)Γ(y)/Γ(x+y)
したがって、
B(1/4,1/2)=Γ(1/4)Γ(1/2)/Γ(3/4)
ここで
Γ(1/2)=√π
Γ(1/4)とΓ(3/4)は、近似値しかでません
以上より
√(2π)Γ(1/4)/{4Γ(3/4)}
r²=2a²cos2θ
では、
a√(2π)Γ(1/4)/Γ(3/4)≒7.4163a
面積
∫∫rdrdθ
=∫(1/2)r²dθ
=∫a²cos2θ dθ
で、0≦θ≦π/4
を4倍する
∫cos2θ dθ
=1/2sin(2θ)
0→π/4
=1/2
よって
(1/2)a²*4
=2a²