代数的K理論について書く、と言っていたが
書く書く詐欺の様になっていた
其処で、少しずつ書き始めてみようかなと思う
可換モノイドMがあった時に、
その群化と言う概念がある
つまり、coker(diagonal:M→M×M)
或いは先走ると、Mの分類空間に単位元で基点を与えて、基本群を考える
これが、仰々しくGrothendieck群などと呼ばれたりしてK(M) と書かれたのだが、そのうちK_0(M) と書かれる様になる
それは後にK_nと呼ばれる群の系列が発見され、その0番目になっている事がわかったからだ
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具体的には、どの様な応用があるか？
話を簡単にする為
Xをcompact Hausdroff空間として
C(X)をXからRへの連続関数のなす環とする
するとX上のvector束の圏 VB(X) と C(X)上有限生成射影的C(X)-加群の圏 P(C(X)) が定まる
此処で大域切断関手 Γ:VB(X) → P(C(X)) と言う関手が得られる これが圏同値になる、と言うのがSwanの定理
Atiyah などは、VB(X) の同型類全体に直和でモノイド構造を入れたもののGrothendieck群を考えてK(X)と書いた
其処で、単位的可換環Aに対して K_0(A) をA上の有限生成射影的加群の同型類に直和でmonoid構造を入れたもの、の群化をK_0(A) と書く
例えばAがDedekind環だとすると
K_0(A) はZとAのideal類群 Cl(A)の直和と同型になる
続
