昨日書いた記事で、閉集合 や コンパクト という言葉が出て来たので、簡単に復習しておく
こうやって 空間概念の認識の変貌 というシリーズをブログに書き溜めたものが出来てきたら、
それを叩き台として、色々と詳細を書き足して、セルフコンテインドな本を作るかも知れない
其処にはもう少し詳しく書く
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R^nの部分集合SとR^nの点xの間の関係として色々な概念がある
先ず、xがSの内点とは、充分小さいεを取るとxを中心とする半径εの開球がSに含まれる事を言う
Sの補集合の内点を外点と呼び、Sの外点でない点をSの触点と言う Sの点は全てSの触点となるので、それよりももっと強く、xがS-{x}の触点となっている時、xをSの集積点と呼ぶ
Sの内点、触点、集積点全体の集合をそれぞれ、S^i, S^a, S^d と書いてSの内部、閉包、導集合 と呼ぶ
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R^nの部分集合 Uが開集合であるとは、U^i=Uとなる事である
n=1 の時は、Uは互いに交わらない可算個の開区間の合併として表せる
然し、例えば 二次元の開球は 互いに交わらない可算個の開長方形(開区間の直積)では表せない
とは言っても、n次元でも、互いに交わらない可算個の右半開区間の直積の合併では表せる
なので、開区間概念の適切な一般化になっている と言える
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次に閉集合の定義
それは、補集合が開集合である集合 としても定義出来るが、S^a=S となる集合 Sとも言える
又、これを言い換えると、Sの点からなる収束列の極限は必ずSに含まれる様な集合 (つまり、極限操作で閉じた集合) としても特徴付けられる
閉集合は開集合の時の様に 閉区間の直積の可算個の合併で表せる といった様な構造定理を持っていない
と言うのも 例えば R^nの収束列 {x_n} があったらそれにその極限を付け加えた集合は閉集合になってしまうので 閉区間の様な連結的な厚みを持ってない集合も閉集合になり得る
とは言っても、閉集合に対してはCantor-Bendixsonによる構造定理がある
それを示す為に 完全集合を定義しておく
R^nの非空な部分集合 S が完全集合とは、S^d=S が成立する事である
そして次の様な定理 (Cantor-Bendixsonの定理) が成り立つ
R^nの任意の閉集合は交わりを持たない 可算集合 と 完全集合の合併として表せる
一般には、閉集合は無限の広がりを持っているが、
有界(つまり、原点を中心とする充分大きな半径Rの開球に含まれる)な閉集合 は コンパクト集合である事と同値である事が示させる
が、コンパクトの話は長くなったので 次回に続く
