quiver構造って何でしょうか？
色々と言い方はあると思います
例えば 前順序集合 は そのHasse図を考えれば、quiverと思えますから、前順序集合概念の拡張とも思える
その視点では 対象x と yの間には、一つの順序関係があるか？ないか？と言うよりは、複数の射の存在を許してる という意味で familyのクラプキフレームの様にも思えます
(クリプキ フレームについては
2017年5月25日 トポス 4 参照)
上に引用した記事ではクリプキフレームを一様構造との関係で述べました と言う様に 数学的構造の中には 分野の垣根を越えて 構造だけを抽出してくると 非常に似通ったものが色々とある訳です
敢えて そこを指摘したのは、微分概念の何を抽出してくるか？によっては 確かに 高次元圏論 とは 圏論における微分概念 とも言えなくもない (但し そう言う例えは、物は言いよう に近くもあるという事です)
話を戻しますね
基本的には1-圏上の構造とは？と言うと
前順序におけるsup と inf 概念の拡張である lim と colim
そして、射の合成
これらは基本的な構造であってね、
これらの構造を保つ圏と圏の間の射 関手というと、
(余)極限 と 射の合成 を保つもの
を考える事になるでしょうか？ (Lurieは集合論で写像概念の一般化とする対応概念に相当するものとして、corespondenceというものを考えたりしますが)
大抵 関手は射の合成を保つ事は要請しますね(0回合成を保つ事がidを保つ事に相当する)
ただ、(余)連続性は課したり課さなかったりする
例えば pointed categoryで、有限極限と有限余極限で閉じた圏はよく考えられます
この時、有限余極限 と 有限極限 が一致する事と この圏がAbel群の圏で豊穣される事は同値です (そう言う圏を加法圏と言う)
加法圏論では、有限極限を保つ関手を考える事が多いのですが
例えば 加群の圏における外積関手なんて言うのは 基本的ですが、直和を保ちません
で直和や0対象を保つ関手を加法的関手と呼ぶなら
こう言う外積関手を加法的関手で近似する事は
「(全)微分とは関数の線形近似である」という標語 に立って考えると関手の微分概念だと考えられます
cross effectとかGoodwilleの関手の微分概念 はまさにこう言う方向性ですね
続く
色々と言い方はあると思います
例えば 前順序集合 は そのHasse図を考えれば、quiverと思えますから、前順序集合概念の拡張とも思える
その視点では 対象x と yの間には、一つの順序関係があるか？ないか？と言うよりは、複数の射の存在を許してる という意味で familyのクラプキフレームの様にも思えます
(クリプキ フレームについては
2017年5月25日 トポス 4 参照)
上に引用した記事ではクリプキフレームを一様構造との関係で述べました と言う様に 数学的構造の中には 分野の垣根を越えて 構造だけを抽出してくると 非常に似通ったものが色々とある訳です
敢えて そこを指摘したのは、微分概念の何を抽出してくるか？によっては 確かに 高次元圏論 とは 圏論における微分概念 とも言えなくもない (但し そう言う例えは、物は言いよう に近くもあるという事です)
話を戻しますね
基本的には1-圏上の構造とは？と言うと
前順序におけるsup と inf 概念の拡張である lim と colim
そして、射の合成
これらは基本的な構造であってね、
これらの構造を保つ圏と圏の間の射 関手というと、
(余)極限 と 射の合成 を保つもの
を考える事になるでしょうか？ (Lurieは集合論で写像概念の一般化とする対応概念に相当するものとして、corespondenceというものを考えたりしますが)
大抵 関手は射の合成を保つ事は要請しますね(0回合成を保つ事がidを保つ事に相当する)
ただ、(余)連続性は課したり課さなかったりする
例えば pointed categoryで、有限極限と有限余極限で閉じた圏はよく考えられます
この時、有限余極限 と 有限極限 が一致する事と この圏がAbel群の圏で豊穣される事は同値です (そう言う圏を加法圏と言う)
加法圏論では、有限極限を保つ関手を考える事が多いのですが
例えば 加群の圏における外積関手なんて言うのは 基本的ですが、直和を保ちません
で直和や0対象を保つ関手を加法的関手と呼ぶなら
こう言う外積関手を加法的関手で近似する事は
「(全)微分とは関数の線形近似である」という標語 に立って考えると関手の微分概念だと考えられます
cross effectとかGoodwilleの関手の微分概念 はまさにこう言う方向性ですね
続く
