⑱ 『 さいころを振る 』
○ ５枚のコインを１回投げる。このとき、次の問いに答えてください。
ただし、すべてのコインの 表がでる事象 と 裏がでる事象 は、同様に確からしいし、
それ以外の事象 ( 例えば、表や裏にならずコインが立つ。) は起こらないとする。
ⅰ) 表が３枚になる確率は ？
ⅱ) 裏が３枚になる確率は ？
次の ( ) に適切な語句や式などを入れてください。
同様に確からしい すべての事象 を書き出してみる。
[ １枚目 ２枚目 ３枚目 ４枚目 ５枚目 ]
＝ [ お お お お お ] , [ お お お お う ] , [ お お お う お ] , [ お お お う う ] ,
[ お お う お お ] , [ お お う お う ] , [ お お う う お ] , [ お お う う う ] ,
[ (お う お お お) ] , [ (お う お お う) ] , [ (お う お う お) ] , [ (お う お う う) ] ,
[ (お う う お お) ] , [ (お う う お う) ] , [ (お う う う お) ] , [ (お う う う う) ] ,
[ (う お お お お) ] , [ (う お お お う) ] , [ (う お お う お) ] , [ (う お お う う) ] ,
[ う お う お お ] , [ う お う お う ] , [ う お う う お ] , [ う お う う う ] ,
[ (う う お お お) ] , [ (う う お お う) ] , [ (う う お う お) ] , [ (う う お う う) ] ,
[ う う う お お ] , [ う う う お う ] , [ う う う う お ] , [ う う う う う ] 以上 ３２ 通り。
ⅰ) 表が３枚になる事象は、(１０) あるから、表が３枚になる確率は、 ( 5 / 16 )
ⅱ) 裏が３枚になる事象は、(１０) あるから、裏が３枚になる確率は、 ( 5 / 16 )
○ ４枚のコインを１回投げる。このとき、次の問いに答えてください。
ただし、すべてのコインの 表がでる事象 と 裏がでる事象 は、同様に確からしいし、
それ以外の事象 ( 例えば、表や裏にならずコインが立つ。) は起こらないとする。
ⅰ) 表が０枚になる確率は ？
ⅱ) 表が１枚になる確率は ？
ⅲ) 表が２枚になる確率は ？
ⅳ) 表が３枚になる確率は ？
ⅴ) 表が４枚になる確率は ？
ⅵ) 裏が少なくとも２枚になる確率は ？
次の ( ) に適切な語句や式などを入れてください。
ⅰ)
₄Ｃ₀ × (1/2) ⁰ × (1/2) ⁴ ＝ １ × 1 × (1 / 16) より、 1 / 16 。
ⅱ)
₄Ｃ₁ × (1/2) ¹ × (1/2) ³ ＝ ４ × (1 / 16) より、 1 / 4 。
ⅲ)
₄Ｃ₂ × (1/2) ² × (1/2) ² ＝ (６) × (1 / 16) より、 ( 3 / 8 ) 。
ⅳ)
( ₄Ｃ₃ )× (1/2) ³ × (1/2) ¹ ＝ (４) × (1 / 16) より、 ( 1 / 4 ) 。
ⅴ)
₄Ｃ₄ × (1/2) ⁴ × (1/2) ⁰ ＝ (１) × (1 / 16) × 1 より、 ( 1 / 16 ) 。
ⅵ)
裏が０枚になる確率は、 ⅴ) より、 1 / 16
裏が１枚になる確率は、 ⅳ) より、 1 / 4 だから、
( 余事象 ) を使って、
1 － ( 1 / 16 ) － ( 1 / 4 ) を計算すると、
裏が少なくとも２枚になる確率は、 ( 11 / 16 ) である。
○ １０枚のコインを１回投げる。このとき、次の問いに答えてください。
ただし、すべてのコインの 表がでる事象 と 裏がでる事象 は、同様に確からしいし、
それ以外の事象 ( 例えば、表や裏にならずコインが立つ。) は起こらないとする。
ⅰ) 裏が １０枚になる確率は ？
ⅱ) 表が １枚になる確率は ？
ⅲ) 表が少なくとも １枚になる確率は ？
ⅳ) 表が少なくとも ３枚になる確率は ？
ⅰ) ₁₀Ｃ₀ × (1/2) ⁰ × (1/2) ¹⁰ ＝ １ × 1 × ( 1 / 1024 ) ＝ 1 / 1024
ⅱ) ₁₀Ｃ₁ × (1/2) ¹ × (1/2) ⁹ ＝ １０ × ( 1 / 2 ) × ( 1 / 512 ) ＝ 5 / 512
ⅲ) 表が０枚の確率は、 ⅰ) より、 1 / 1024 だから、
余事象を使って、 1 － ( 1 / 1024 ) を計算すると、
求める確率は、 1023 / 1024 である。
ⅳ) 表が２枚になる確率は、 ₁₀Ｃ₂ × (1/2) ² × (1/2) ⁸ ＝ ４５ × ( 1 / 1024 ) ＝ 45 / 1024
これ と ⅰ),ⅱ) により、
1 － ( 1 / 1024 ) － ( 10 / 1024 ) － ( 45 / 1024 ) を計算すると、
求める確率は、 121 / 128 である。
○ どの目も同様に確からしく出る さいころが１つある。このさいころを１回振る。
このとき、次の問いに答えてください。
ⅰ) １の目が出る確率は ？
ⅱ) 偶数の目が出る確率は ？
ⅲ) 素数の目が出る確率は ？
ⅳ) ４以上の目が出る確率は ？
次の ( ) に適切な語句や式などを入れてください。
１つのさいころの 目の出方 を書き出してみると、
[ １ ] , [ ２ ] , [ ３ ] , [ ４ ] , [ ５ ] , [ ６ ] だから、
同様に確からしいすべての事象は、( )つある。
ⅰ) １の目が出る確率は、
( ) である。
ⅱ) 偶数の目が出る確率は、
( ) すなわち ( ) である。
ⅲ) 素数の目が出る確率は ？
素数は、 1 と その数自身でしか割り切れない整数 すなわち 約数が２つしかない数 である。
よって、 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 の中で素数は、( )つあるから、求める確率は、 ( ) である。
ⅳ) ４以上の目が出る確率は ？
４以上の目は、( )つあるから、求める確率は、 ( ) である。
○ どの目も同様に確からしく出る さいころが２つある。これら２つのさいころを同時に１回振る。
このとき、次の問いに答えてください。
(Ⅰ) ２つのさいころの出た目の数の 和 を考える。
ⅰ) 和が ７ になる確率は ？
ⅱ) 和が 奇数 になる確率は ？
ⅲ) 和が 素数 になる確率は ？
ⅳ) 和が ４以上 になる確率は ？
(Ⅱ) ２つのさいころの出た目の数の 積 を考える。
ⅴ) 積が 偶数 になる確率は ？
ⅵ) 積が ３の倍数 になる確率は ？
ⅶ) 積が 素数 になる確率は ？
次の ( ) に適切な語句や式などを入れてください。
２つのさいころの 目の出方 をすべてかく。
[ １ , １ ] , [ １ , ２ ] , [ １ , ３ ] , [ １ , ４ ] , [ １ , ５ ] , [ １ , ６ ]
[ ２ , １ ] , [ ２ , ２ ] , [ ２ , ３ ] , [ ２ , ４ ] , [ ２ , ５ ] , [ ２ , ６ ]
[ ３ , １ ] , [ ３ , ２ ] , [ ３ , ３ ] , [ ３ , ４ ] , [ ３ , ５ ] , [ ３ , ６ ]
[ ４ , １ ] , [ ４ , ２ ] , [ ４ , ３ ] , [ ４ , ４ ] , [ ４ , ５ ] , [ ４ , ６ ]
[ ５ , １ ] , [ ５ , ２ ] , [ ５ , ３ ] , [ ５ , ４ ] , [ ５ , ５ ] , [ ５ , ６ ]
[ ６ , １ ] , [ ６ , ２ ] , [ ６ , ３ ] , [ ６ , ４ ] , [ ６ , ５ ] , [ ６ , ６ ]
(Ⅰ) ２つのさいころの出た目の数の 和 は、
[ ２ ] , [ ３ ] , [ ４ ] , [ ５ ] , [ ６ ] , [ ７ ]
[ ３ ] , [ ４ ] , [ ５ ] , [ ６ ] , [ ７ ] , [ ８ ]
[ ４ ] , [ ５ ] , [ ６ ] , [ ７ ] , [ ８ ] , [ ９ ]
[ ５ ] , [ ６ ] , [ ７ ] , [ ８ ] , [ ９ ] , [ １０ ]
[ ６ ] , [ ７ ] , [ ８ ] , [ ９ ] , [ １０ ] , [ １１ ]
[ ７ ] , [ ８ ] , [ ９ ] , [ １０ ] , [ １１ ] , [ １２ ]
ⅰ) 出た目の数の和が、７ になるのは、
[ １ , ６ ] , [ ２ , ５ ] , [ ３ , ４ ] , [ ４ , ３ ] , [ ５ , ２ ] , [ ６ , １ ] の ( )つ。
よって、 ( ) すなわち ( ) である。
ⅱ) 出た目の数の和が、奇数 になるのは、３＋３＋３＋３＋３＋３ の ( )通り だから、
求める確率は、 ( ) すなわち ( ) である。
ⅲ) 素数は、｛ 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , ・・・ ｝ だから、
出た目の数の和が、素数 になるのは、( )通りなので、求める確率は、 ( ) である。
ⅳ) 出た目の数の和が、４以上 になる確率は、 ( ) すなわち ( ) である。
(Ⅱ) ２つのさいころの出た目の数の 積 は、
[ １ ] , [ ２ ] , [ ３ ] , [ ４ ] , [ ５ ] , [ ６ ]
[ ２ ] , [ ４ ] , [ ６ ] , [ ８ ] , [ １０ ] , [ １２ ]
[ ３ ] , [ ６ ] , [ ９ ] , [ １２ ] , [ １５ ] , [ １８ ]
[ ４ ] , [ ８ ] , [ １２ ] , [ １６ ] , [ ２０ ] , [ ２４ ]
[ ５ ] , [ １０ ] , [ １５ ] , [ ２０ ] , [ ２５ ] , [ ３０ ]
[ ６ ] , [ １２ ] , [ １８ ] , [ ２４ ] , [ ３０ ] , [ ３６ ]
ⅴ) 出た目の数の積が、偶数 になるのは、３＋６＋３＋６＋３＋６ の ( )通り だから、
求める確率は、 3 / 4 である。
ⅵ) 出た目の数の積が、３の倍数 になるのは、２＋２＋６＋２＋２＋６ の ( )通り だから、
求める確率は、 5 / 9 である。
ⅶ) 出た目の数の積が、素数 になるのは、３＋１＋１＋０＋１＋０ の ( )通り だから、
求める確率は、 1 / 6 である。
○ どの目も同様に確からしく出る さいころが３つある。これら３つのさいころを同時に１回振る。
このとき、次の問いに答えてください。
(Ⅰ) ３つのさいころの出た目の数の 和 を考える。
ⅰ) 和が ７ になる確率は ？
ⅱ) 和が 奇数 になる確率は ？
ⅲ) 和が 素数 になる確率は ？
ⅳ) 和が ３の倍数 になる確率は ？
(Ⅱ) ３つのさいころの出た目の数の 積 を考える。
ⅴ) 積が 偶数 になる確率は ？
ⅵ) 積が 素数 になる確率は ？
次回 ⑲ 『 袋の中から 』 に続きます。