⑲ 『 袋の中から 』
○ どの目も同様に確からしく出る さいころが１つある。このさいころを１回振る。
このとき、次の問いに答えてください。
ⅰ) １の目が出る確率は ？
ⅱ) 偶数の目が出る確率は ？
ⅲ) 素数の目が出る確率は ？
ⅳ) ４以上の目が出る確率は ？
次の ( ) に適切な語句や式などを入れてください。
１つのさいころの 目の出方 を書き出してみると、
[ １ ] , [ ２ ] , [ ３ ] , [ ４ ] , [ ５ ] , [ ６ ] だから、
同様に確からしいすべての事象は、(６)つある。
ⅰ) １の目が出る確率は、
( 1 / 6 ) である。
ⅱ) 偶数の目が出る確率は、
( 3 / 6 ) すなわち ( 1 / 2 ) である。
ⅲ) 素数の目が出る確率は ？
素数は、 1 と その数自身でしか割り切れない整数 すなわち 約数が２つしかない数 である。
よって、 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 の中で素数は、(３)つあるから、求める確率は、 ( 1 / 2 ) である。
ⅳ) ４以上の目が出る確率は ？
４以上の目は、(３)つあるから、求める確率は、 ( 1 / 2 ) である。
○ どの目も同様に確からしく出る さいころが２つある。これら２つのさいころを同時に１回振る。
このとき、次の問いに答えてください。
(Ⅰ) ２つのさいころの出た目の数の 和 を考える。
ⅰ) 和が ７ になる確率は ？
ⅱ) 和が 奇数 になる確率は ？
ⅲ) 和が 素数 になる確率は ？
ⅳ) 和が ４以上 になる確率は ？
(Ⅱ) ２つのさいころの出た目の数の 積 を考える。
ⅴ) 積が 偶数 になる確率は ？
ⅵ) 積が ３の倍数 になる確率は ？
ⅶ) 積が 素数 になる確率は ？
次の ( ) に適切な語句や式などを入れてください。
２つのさいころの 目の出方 をすべてかく。
[ １ , １ ] , [ １ , ２ ] , [ １ , ３ ] , [ １ , ４ ] , [ １ , ５ ] , [ １ , ６ ]
[ ２ , １ ] , [ ２ , ２ ] , [ ２ , ３ ] , [ ２ , ４ ] , [ ２ , ５ ] , [ ２ , ６ ]
[ ３ , １ ] , [ ３ , ２ ] , [ ３ , ３ ] , [ ３ , ４ ] , [ ３ , ５ ] , [ ３ , ６ ]
[ ４ , １ ] , [ ４ , ２ ] , [ ４ , ３ ] , [ ４ , ４ ] , [ ４ , ５ ] , [ ４ , ６ ]
[ ５ , １ ] , [ ５ , ２ ] , [ ５ , ３ ] , [ ５ , ４ ] , [ ５ , ５ ] , [ ５ , ６ ]
[ ６ , １ ] , [ ６ , ２ ] , [ ６ , ３ ] , [ ６ , ４ ] , [ ６ , ５ ] , [ ６ , ６ ]
(Ⅰ) ２つのさいころの出た目の数の 和 は、
[ ２ ] , [ ３ ] , [ ４ ] , [ ５ ] , [ ６ ] , [ ７ ]
[ ３ ] , [ ４ ] , [ ５ ] , [ ６ ] , [ ７ ] , [ ８ ]
[ ４ ] , [ ５ ] , [ ６ ] , [ ７ ] , [ ８ ] , [ ９ ]
[ ５ ] , [ ６ ] , [ ７ ] , [ ８ ] , [ ９ ] , [ １０ ]
[ ６ ] , [ ７ ] , [ ８ ] , [ ９ ] , [ １０ ] , [ １１ ]
[ ７ ] , [ ８ ] , [ ９ ] , [ １０ ] , [ １１ ] , [ １２ ]
ⅰ) 出た目の数の和が、７ になるのは、
[ １ , ６ ] , [ ２ , ５ ] , [ ３ , ４ ] , [ ４ , ３ ] , [ ５ , ２ ] , [ ６ , １ ] の (６)つ。
よって、 ( 6 / 36 ) すなわち ( 1 / 6 ) である。
ⅱ) 出た目の数の和が、奇数 になるのは、３＋３＋３＋３＋３＋３ の (１８)通り だから、
求める確率は、 ( 18 / 36 ) すなわち ( 1 / 2 ) である。
ⅲ) 素数は、｛ 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , ・・・ ｝ だから、
出た目の数の和が、素数 になるのは、(１５)通りなので、求める確率は、 ( 5 / 12 ) である。
ⅳ) 出た目の数の和が、４以上 になる確率は、 ( 33 / 36 ) すなわち ( 11 / 12 ) である。
(Ⅱ) ２つのさいころの出た目の数の 積 は、
[ １ ] , [ ２ ] , [ ３ ] , [ ４ ] , [ ５ ] , [ ６ ]
[ ２ ] , [ ４ ] , [ ６ ] , [ ８ ] , [ １０ ] , [ １２ ]
[ ３ ] , [ ６ ] , [ ９ ] , [ １２ ] , [ １５ ] , [ １８ ]
[ ４ ] , [ ８ ] , [ １２ ] , [ １６ ] , [ ２０ ] , [ ２４ ]
[ ５ ] , [ １０ ] , [ １５ ] , [ ２０ ] , [ ２５ ] , [ ３０ ]
[ ６ ] , [ １２ ] , [ １８ ] , [ ２４ ] , [ ３０ ] , [ ３６ ]
ⅴ) 出た目の数の積が、偶数 になるのは、３＋６＋３＋６＋３＋６ の (２７)通り だから、
求める確率は、 3 / 4 である。
ⅵ) 出た目の数の積が、３の倍数 になるのは、２＋２＋６＋２＋２＋６ の (２０)通り だから、
求める確率は、 5 / 9 である。
ⅶ) 出た目の数の積が、素数 になるのは、３＋１＋１＋０＋１＋０ の (６)通り だから、
求める確率は、 1 / 6 である。
○ どの目も同様に確からしく出る さいころが３つある。これら３つのさいころを同時に１回振る。
このとき、次の問いに答えてください。
(Ⅰ) ３つのさいころの出た目の数の 和 を考える。
ⅰ) 和が ７ になる確率は ？
ⅱ) 和が 奇数 になる確率は ？
ⅲ) 和が 素数 になる確率は ？
ⅳ) 和が ３の倍数 になる確率は ？
(Ⅱ) ３つのさいころの出た目の数の 積 を考える。
ⅴ) 積が 偶数 になる確率は ？
ⅵ) 積が 素数 になる確率は ？
３つのさいころの目の出方は、６ ³ より、 ２１６通り。
(Ⅰ)
ⅰ) 和が ７ になる目の組合せは、( 1 , 1 , 5 ) , ( 1 , 2 , 4 ) , ( 1 , 3 , 3 ) , ( 2 , 2 , 3 ) であるから、
和が ７ になる目の出方は、３ ＋ ６ ＋ ３ ＋ ３ の１５通り である。
よって、和が ７ になる確率は、 5 / 72 である。
ⅱ) 奇数 ＋ 奇数 ＋ 奇数 は 奇数
奇数 ＋ 奇数 ＋ 偶数 は 偶数
奇数 ＋ 偶数 ＋ 偶数 は 奇数
偶数 ＋ 偶数 ＋ 偶数 は 偶数 だから、
奇数になる目の組合せは、( 奇 , 奇 , 奇 ) , ( 奇 , 偶 , 偶 ) である。
( 奇 , 奇 , 奇 )での 和が奇数になる目の出方は、３ × ３ × ３ より、 ２７通り。
( 奇 , 偶 , 偶 )での 和が奇数になる目の出方は、₃Ｃ₁ × ３ × ３ × ３ より、 ８１通り。
ゆえに、和が 奇数 になる確率は、 1 / 2 である。
ⅲ) ３つのさいころの目の和は、3 から 18 までの整数だから、
この中に含まれる素数は、｛ 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 ｝。
和が ３ になる目の出方は、 １通り である。
和が ５ になる目の出方は、 組合せが ( 1 1 3 ) , ( 1 2 2 ) だから、 ６通り である。
和が ７ になる目の出方は、 ⅰ) より、 １５通り である。
和が１１ になる目の出方は、 組合せが ( 1 4 6 ) , ( 1 5 5 ) , ( 2 3 6 ) , ( 2 4 5 ) , ( 3 3 5 ) , ( 3 4 4 )
だから、 ２７通り である。
和が１３ になる目の出方は、 組合せが ( 1 6 6 ) , ( 2 5 6 ) , ( 3 4 6 ) , ( 3 5 5 ) , ( 4 4 5 )
だから、 ２１通り である。
和が１７ になる目の出方は、 組合せが ( 5 6 6 ) だから、 ３通り である。
よって、和が 素数 になる確率は、 73 / 216 である。
ⅳ) 和が３の倍数になる目の組合せは、(111) (114) (123) (126) (135) (144) (156)
(222) (225) (234) (246) (255)
(333) (336) (345) (366)
(444) (456)
(555)
(666) である。
だから、
和が３の倍数になる目の出方は、 １ ＋ ３ ＋ ６ ＋ ６ ＋ ６ ＋ ３ ＋ ６
＋ １ ＋ ３ ＋ ６ ＋ ６ ＋ ３
＋ １ ＋ ３ ＋ ６ ＋ ３
＋ １ ＋ ６
＋ １
＋ １ を計算して、 ７２通り。
よって、和が ３の倍数 になる確率は、 1 / 3 である。
(Ⅱ)
ⅴ) 積が 奇数 になる目の組合せは、( 奇 , 奇 , 奇 ) で
積が 奇数 になる目の出方は、 ３ × ３ × ３ より、 ２７通り。
積が 奇数 になる確率は、1 / 8 である。
よって、余事象を使い
積が 偶数 になる確率は、 7 / 8 である。
ⅵ) さいころの目は、｛ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ｝ すなわち ｛ 1 , 2 , 3 , 2² , 5 , 2・3 ｝ だから、
積が 素数 になる目の組合せは、(112) , (113) , (115) なので、
積が 素数 になる目の出方は、 ３ ＋ ３ ＋ ３ より、 ９通り。
よって、積が 素数 になる確率は、 1 / 24 である。
条件を満たす組合せを選んで、その各々の場合についての並べ方を考えるのは、とても有効な解き方です。
○ 袋の中に、数字をかいた ① ② ③ の３つの玉が入っている。
袋から玉を１つ取り出し、取り出した玉を戻さず、もう１つ玉を取り出す。
１回目に取り出した玉の数字を十の位の数に、
２回目に取り出した玉の数字を一の位の数にして、整数をつくる。
このとき、以下の各問いに答えてください。
( ただし、数字は袋から取り出すまでわからないものとする。)
（１） 整数が 偶数 になる確率を求めなさい。
（２） 整数が 奇数 になる確率を求めなさい。
（３） 整数が ３の倍数 になる確率を求めなさい。
次回 ⑳ 『 袋の中から ２ 』 に続きます。