㊱ ２次不等式 ４
○ 次の不等式を解きなさい。
(６) x ² － 7 x ＋ 12 ≧ 0
x ² － 7 x ＋ 12 ≧ 0
⇔ ( x － 4 ) ( x － 3 ) ≧ 0
⇔ x ≦ 3 , 4 ≦ x
答え x ≦ 3 , 4 ≦ x
(７) x² ＋ 2 x ＋ 1 ＜ 0
x ² ＋ 2 x ＋ 1
＝ ( x ＋ 1 ) ²
x ＋ 1 は 実数 だから
( x ＋ 1 ) ² ≧ 0
( 等号成立は x ＋ 1 ＝ 0 すなわち x ＝ － 1 のとき )
よって
x ² ＋ 2 x ＋ 1 ＜ 0
⇔ ( x ＋ 1 ) ² ＜ 0
( ⇔ － 1 ＜ x ＜－ 1 )
この２次不等式を満たす x は存在しない
答え 解なし
【 － 1 ＜ x ＜－ 1 について 】
－ 1 ＜ x ＜－ 1
⇔ － 1 ＜ x かつ x ＜－ 1
⇔ ( x は －1 より大きい ) かつ ( x は －1 より小さい )
－ 1 より大きく かつ － 1 より小さい 実数 x は 存在しない。
(８) x ² － 2 x ＋ 2 ≧ 0
x ² － 2 x ＋ 2
＝ ( x － 1 ) ² ＋ 1
x － 1 は 実数 だから
( x － 1 ) ² ≧ 0
( x － 1 ) ² ＋ 1 ≧ 1
( 等号成立は x － 1 ＝ 0 すなわち x ＝ 1 のとき )
よって
x ² － 2 x ＋ 2 ≧ 0
⇔ ( x － 1 ) ² ＋ 1 ≧ 0
この２次不等式はすべての実数 x で成り立つ
答え x は任意の実数である
a , b , c , x が 実数のとき、
x の２次式 a x ² ＋ b x ＋ c の値は、必ずしも 0 にならない。
それを判断する１つの道具は、判別式である。
○ 次の不等式を解きなさい。
(９) x ² ＋ 2 x ＋ 1 ≦ 0
(10) x ² ＋ 4 x ＋ 1 ≦ 0
(11) x ² ＋ 4 x ＋ 5 ＜ 0
次回 ㊲ ２次不等式 ５ につづきます。