中３数学（多項式の計算１）のつづきです。
中３数学（多項式の計算２）
「公式は、導き、使用するもの」
「公式を覚えたら、できる」 という言葉を中心にした安直な指導は、
生徒を大きく次の６つの層に分けます。
１，ほとんど公式を覚えられない生徒
２，公式を覚えても、ほとんど使えない生徒
３，公式を覚えて、代入して計算するが、計算ミスをする生徒
４，公式を覚えて、代入して計算できるが、時間がかかり過ぎる生徒
５，公式を覚えて、代入して計算でき、時間的にも十分対応できる生徒
６，５の状態プラス、公式の意味（公式の表していること）を理解する生徒
100点満点をとるには、上の５・６の状態になる必要があります。
｛高校数学の多項式の計算｝に取り組むためには、６の状態が望ましいです。
６の状態になるために、
｛公式を導く過程・その成り立ち｝を、そして｛導いた公式が表現していること｝を
理解することがとても大切です。
先ず、公式を使わずに、それを導く過程を確認しながら、展開を学びます。
２項式と２項式のかけ算
＝ ( ａ＋ｂ )( ａ＋ｂ ) ［２×２＝４回］
１回目 ２回目 ３回目 ４回目 スクロールストップ
＝ ａ² ＋ａｂ ＋ａｂ ＋ｂ² （２回目、３回目に完全に同じ項が出てくる）
同類項を計算する
＝ ａ² ＋２ａｂ ＋ｂ²
２ ( ａ－ｂ )² を展開せよ。
＝ （ ａ－ｂ ）（ ａ－ｂ ） ［２×２＝４回］
１回目 ２回目 ３回目 ４回目 スクロールストップ
＝ ａ² －ａｂ －ａｂ ＋ｂ² （２回目、３回目に完全に同じ項が出てくる）
同類項を計算する
＝ ａ² －２ａｂ ＋ｂ²
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(問題)
（ ⅹ＋ｙ ）² と （ ⅹ－ｙ ）² の関係を式で表せ。
ただし、答えは 「 （ ⅹ－ｙ ）²＝（ ⅹ＋ｙ ）² 」の形で書くこと。
この（問題）の解答は、下の方にあります。
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３ ( ａ＋ｂ )( ａ－ｂ ) を展開せよ。 ［２×２＝４回］ スクロールストップ
＝ ａ² －ａｂ ＋ａｂ －ｂ² （２回目、３回目に符号だけが異なる項が出てくる）
同類項を計算する
＝ ａ² －ｂ²
２項式と３項式のかけ算
４ ( ａ＋ｂ )( ａ²－ａｂ＋ｂ² ) を展開せよ。 ［２×３＝６回］
１回目 ２回目 ３回目 スクロールストップ
ａ³ ， －ａ²ｂ ， ＋ａｂ²
４回目 ５回目 ６回目 スクロールストップ
＋ａ²ｂ， －ａｂ² ， ＋ｂ³
＝ ａ³ －ａ²ｂ ＋ａｂ²
＋ａ²ｂ －ａｂ² ＋ｂ³ 同類項を計算する
＝ ａ³ ＋ ｂ³
５ ( ａ－ｂ )( ａ²＋ａｂ＋ｂ² ) を展開せよ。 ［２×３＝６回］
１回目 ２回目 ３回目
４回目 ５回目 ６回目 スクロールストップ
＝ ａ³ ＋ａ²ｂ ＋ａｂ²
－ａ²ｂ －ａｂ² －ｂ³ 同類項を計算する
＝ ａ³ － ｂ³
６ ( ａ＋ｂ )( ａ²＋２ａｂ＋ｂ² ) を展開せよ。 ［２×３＝６回］ スクロールストップ
＝ ａ³ ＋2a²b ＋ａｂ²
＋ａ²ｂ ＋2ab² ＋ｂ³
＝ ａ³ ＋ 3a²b ＋ 3ab² ＋ ｂ³
７ ( ａ－ｂ )( ａ²－２ａｂ＋ｂ² ) を展開せよ。 ［２×３＝６回］ スクロールストップ
＝ ａ³ － 2a²b ＋ａｂ²
－ａ²ｂ ＋2ab² －ｂ³
＝ ａ³ － 3a²b ＋ 3ab² － ｂ³
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練習 １
[１] ( ａ－ｂ )( ａ－ｂ＋ｃ ) を展開せよ。 ［２×３＝６回］
[２] ( ２ａ－３ )( ４ａ²＋５ａ－６ ) を展開せよ。 ［２×３＝６回］
この練習 １ の解答は下の方に掲載しています。
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３項式と３項式のかけ算
８ ( ⅹ－ｙ＋１ )( ⅹ＋ｙ－１ ) を展開せよ。 ［３×３＝９回］
＝ ⅹ² ＋ ⅹｙ －ⅹ
－ⅹｙ － ｙ² ＋ ｙ
＋ ⅹ ＋ ｙ －１
＝ ⅹ² － ｙ² ＋ ２ｙ －１
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練習 ２
[１] ( ａ＋ｂ＋ｃ )( －ａ＋ｂ－ｃ ) を展開せよ。［３×３＝９回］
[２] ( ａ＋ｂ＋ｃ )² を展開せよ。 ［３×３＝９回］
[３] ( ２ａ－４ｂ－３ｃ )² を展開せよ。 ［３×３＝９回］
この練習 ２ の解答は下の方に掲載しています。
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４項式×４項式
９ （ ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ ）（ ａ＋ｂ－ｃ－ｄ ）を展開せよ。
１回目 ２回目 ３回目 ４回目
５回目 ６回目 ７回目 ８回目
９回目 10回目 11回目 12回目
13回目 14回目 15回目 16回目 スクロールストップ
＝ ａ² ＋ａｂ －ａｃ －ａｄ
＋ａｂ ＋ｂ² －ｂｃ －ｂｄ
＋ａｃ ＋ｂｃ －ｃ² －ｃｄ
＋ａｄ ＋ｂｄ －ｃｄ －ｄ²
＝ ａ² ＋ｂ² －ｃ² －ｄ² ＋２ａｂ －２ｃｄ
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（問題）の解答
（ ⅹ－ｙ ）²＝（ ⅹ＋ｙ ）²－４ⅹｙ
解答までのプロセス
（ ⅹ＋ｙ ）²＝ ⅹ²＋２ⅹｙ＋ｙ² －－－（１）
（ ⅹ－ｙ ）²＝ ⅹ²－２ⅹｙ＋ｙ² －－－（２）
（１）,（２）の辺 辺 をひくと （左辺どうし、右辺どうしひくと）
（中２：連立方程式の加減法で使っている）
（ ⅹ＋ｙ ）²－（ ⅹ－ｙ ）²＝ ４ⅹｙ
移項すると
（ ⅹ＋ｙ ）²－４ⅹｙ ＝（ ⅹ－ｙ ）²
練習 １ の解答
［１］ ａ² ＋ ｂ² －２ａｂ －ｂｃ ＋ｃａ
［２］ ８ａ³ －２ａ² －27ａ ＋18
練習 ２ の解答
［１］ ｂ² －ｃ² －２ｃａ －ａ²
［２］ ａ² ＋ｂ² ＋ｃ² ＋２ａｂ ＋２ｂｃ ＋２ｃａ
［３］ ４ａ² ＋16ｂ² ＋９ｃ² －16ａｂ ＋24ｂｃ －12ｃａ
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今回は、ここで終了です。
補講 中３数学（多項式の計算３）につづきます。
( ａ＋ｂ )² ＝ ａ² ＋２ａｂ ＋ｂ²
( ａ－ｂ )² ＝ ａ² －２ａｂ ＋ｂ²
( ａ＋ｂ )( ａ－ｂ ) ＝ ａ² － ｂ²
上の３つの式は、覚えるようにと指導される「公式」です。
これらの公式は何を表しているのでしょうか？
この問いに答えられないのなら、あなたはまだ６の状態になっていません。
ある前提のもと、常に成り立つ関係である法則・規則・規範に、
私たちは従わなければならない場合があります。
公式は、数学・理科などで、一般に通ずる法則をあらわした関係式ですから、
公式を使用するとき、公式のあらわす法則をある程度理解することは必要でしょう。
とりあえず、答えが出るからという理由により、法則の理解なしに、公式を利用して
計算することは、どうしてもその場限りの機械的処理となります。
そのためテストが終わると、理解しないで丸覚えした公式は忘れ去られるでしょう。
これから、展開 ＞ 因数分解 ＞ 平方根 ＞ ２次方程式 と関係が強い単元が続き、
公式を活用する機会が増えます。公式の表していることを理解することが、
成績向上、評価向上につながります。
高１数学も展開・因数分解・平方根・二次方程式・二次関数と結びつきの強い単元が
続きます。そのため、この中３数学の取り組む姿勢が、高１数学の取り組み方を
決定してしまうことになる場合が多いのです。
意味理解と使用を分断したままでは、
学力の創造はおろか学力の向上もできません。